一般最小二乘拟合

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1、第三节一般最小二乘拟合多项式拟合形式比较规范，方法也比较简单，但在实际应用中，针对所讨论问题的特点，拟合函数可能为其他类型，如指数函数、有理函数、三角函数等，这就是一般最小二乘拟合问题。一线性最小二乘拟合设为n+1个线性无关（与向量的线性无关定义类似）的连续函数，为所张成的n+1维线性空间，即由其所有线性组合构成的集合，记作任取，则，它是关于的线性函数。对已知数据点，在中求一，使得(1)这就是一般线性最小二乘拟合问题。同多项式拟合完全类似，上述问题归结为多元函数的极值问题。由多元函数求极值的必要条件，

2、可得即(2)它是关于的线性方程组，即为一般线性最小二乘拟合的正规方程组或法方程组，系数矩阵为对称矩阵。记则式（2）可用矩阵表示为(4)式（3）也可表示为（5）如果G的列向量组线性无关，即R(G)=n+1，则正规方程组（3）或（5）存在唯一解a=，从而为满足式（1）的最小二乘拟合函数。显然，式（3）或式（5）的解a=是超定方程组的最小二乘解。特别地，当取时，即为多项式拟合，所以多项式拟合是一般最小线性二乘拟合的特殊情况。例1已知一组数据如下表，在中求其拟合函数。00.10.20.30.40.50.622

3、.202542.407152.615922.830963.054483.28876解设拟合函数为即代入式(4)得所以解正规方程组得故所求拟合曲线为二可化为线性拟合的非线性拟合有些非线性拟合曲线可以通过适当的变量替换转化为线性曲线，从而用线性拟合进行处理。对于一个实际的曲线拟合问题，一般先按观测值在直角坐标平面上描出散点图，看一看散点同哪类曲线图形接近，然后选用相接近的曲线拟合方程。再通过适当的变量替换转化为线性拟合问题，按线性拟合解出后再还原为原变量所表示的曲线拟合方程。表6-4列举了几类经适当变换化为线性

4、拟合求解的曲线拟合方程及变换关系。曲线拟合方程变换关系变换后线性拟合方程 图6-3是几种常见的数据拟合情况。对于图(a)，数据接近于直线，故宜采用线性函数y=a+bx拟合；图(b)数据分布接近于抛物线，可采用二次多项式拟合；图(c)的数据分布特点是开始曲线上升较快随后逐渐变慢，宜采用双曲线型函数或指数型函数；图(d)的数据分布特点是曲线开始下降快，随后逐渐变慢，宜采用或或等函数拟合。例2例2     设一个发射源的发射公式为，通过实验得到如下数据：0.20.30.40.50.60.70.83.162.381.7

5、51.341.000.740.56利用最小二乘法确定和a。6-3解，将数据对转化为数据对，然后进行直线拟合。列表如下：k00.23.161.150570.040.23011410.32.380.867100.090.26013020.41.750.559620.160.22384630.51.340.292670.250.14633540.61.000.00.360.050.70.74-0.301110.49-0.21077460.80.56-0.579820.64-0.4638553.5 1.989032.

6、030.185796 于是得到正规方程组：解得：则，于是得到拟合指数函数为。三离散正交多项式曲线拟合在用多项式作拟合函数时，为避免正规方程组的病态，可以选择离散正交多项式作为多项式的基。1离散正交多项式定义设给定点集，是k次多项式，如果多项式系满足(6)则称为关于点集的正交多项式系，称为k次正交多项式。可以证明，离散正交多项式具有以下性质：①正交多项式系是线性无关函数系。②首项系数为1的离散正交多项式系有下列递推关系：(7)其中(8)例3试构造点集｛0，1，2，3，4｝上的离散

7、正交多项式。解由式(7)、(8)得=1,(,)=,(,)=,则则则2离散正交多项式曲线拟合设已知数据点，为关于点集的正交多项式系，，求一次数不超过n的多项式满足(2)式，即由的离散正交性，此时法方程组(式(3))成为如下简单形式(9)其解为(10)拟合多项式为(11)平方误差为(12)