正交最小二乘曲线拟合法

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1、万方数据第32卷第3期2007年5月测绘科学ScienceofSuⅣeying锄dM印pingV01．32No．3Mav．正交最小二乘曲线拟合法丁克良①，欧吉坤②，赵春梅③(①北京建筑工程学院测绘和城市信息学院测绘工程系，北京100044；②中国科学院测量与地球物理研究所，武汉430077；③中国测绘科学研究院大地测量与地球动力学研究所，北京100039)【摘要】在最小二乘曲线拟合中，自变量的误差常常被略而不计，提出采用正交最小二乘法拟合曲线。该方法以正交距离残差平方和极小为准则，同时顾及了因变量和自变量的误差；基于间接平差原理详细推导了相关

2、模型和算法。实际计算表明，采用正交最小二乘法拟合曲线，拟合效果整体上优于普通最小二乘法。【关键词】最小二乘；曲线拟合；正交最小二乘；精度评定【中图分类号】P22【文献标识码】A【文章编号】1009．2307(2007)03—0018一031引言曲线拟合问题是诸多试验和工程实际中广泛应用的数据处理方法。测量工作中，通常根据测定的一系列坐标点，选取一定的数学模型拟合直线、二次曲线或者其他高次曲线。拟合的目的是根据测量点寻求曲线的特征，求解曲线的相关参数，为工程建设管理提供必要的基础信息。如在既有铁路工程、又有公路工程测量中，常常根据一系列的测量点

3、和线路工程的特点求解线路工程的线形特征，为线路工程维修养护、二线工程建设、行车安全分析等提供必要的基础信息¨“。在GIs数据获取中，通常根据一系列的实际测量点或者是地图数字化点拟合道路、水系、等高线等曲线b’6J。这类问题的做法通常是根据线形的特点选取一定的数学模型，以待求的线形参数作为未知参数，以测点的纵坐标或者横坐标为观测值，采用最小二乘法处理。在曲线拟合中一般都是以)，为因变量，以省为自变量应用最小二乘法处理。这里有一个前提，即自变量必须是精确值。显然许多情况下，这和实际不符合，自变量的误差常常被忽略。当自变量的误差较大时，在曲线拟合中

4、应该加以考虑。基于此，本文提出采用正交最小二乘法拟合曲线，并基于间接平差原理详细推导了相关模型和公式，实例计算结果表明，采用正交最小二乘法，曲线拟合效果总体上优于普通最小二乘法。2曲线拟合最小二乘法曲线拟合是用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法，其目的是根据实验获得的数据去建立因变量与自变量之间有效的经验函数关系。它包括两个方面的问题，拟合曲线模型的选取及拟合标准。如图l所示，给定一系列的测点(菇i，)，。)，要求在给定的函数类p中寻求一个最佳的函数，近似代替函数拟合函数y=．厂(戈)，rf=，

5、，i一妒(筏)为i点的拟合残差。曲线拟合总的要作者简介：丁克良(1968．)，男，河南淮阳人，工程师，博士，主要从事现代测量数据处理和GPs卫星导航教学和研究工作。E．mail：hyiding@163．com收稿日期：2006—11—07基金项目：国家自然科学基金项目(40504003)求是拟合残差总体上尽可能的小，通常的做法有以下几种：。燃1，，i～妒(石t)I=min(1)∑Iyi一妒(戈。)I=min(2)∑

6、

7、‘，，。一驴(戈。)o2=min(3)其中，第一种情况比较复杂，第二种情况不可导，求解比较困难，目前采用较多的方法是第三种方法

8、，这种方法称为最小二乘法。拟合法对于给定平面上的点(筏，y。)，(i=1，2，⋯，m)，在不知其准确的模型时，一般采用多项式函数)，=以o，省)=no+口1茹+⋯口。茗：(4)按最小二乘法拟合。实际求解时，以y为观测值，待求参数为未知数，则观测值个数为m，未知数个数为n+l，按间接平差方法处理，观测方程可表示为或=∑a。霉bl，2⋯，m(5)误差方程可表示为。，=∑6q《+(∑秽《一yi)矩阵表达式为A6X=Z+y(6)式中A=∑弓《一y。j=0．占X=在最小二乘准则矿y=min下求解可得般’=(ATA)-1A’z囊=x0+6文6do鼬1●：

9、鼬。万方数据第3期丁克良等正交最小二乘曲线拟合法19上述方法称为多项式曲线拟合法，这是测量和众多领域数据处理中常用的模型之一，方法简单，应用广泛。3正交最小二乘曲线拟合法拟合准则F(a)=幽；r22呀荟(s；+，7；)f=l6’qi=l=唑∑(№旺+嗽¨；+占；)吧㈣(10)在此模型中，如果不考虑自变量菇的误差，式(10)变为F(n)：唑n至(1叭“以)一yi旺)这是典型的普通最小二乘曲线拟合模型。从几何上讲，距离残差-实质是点到拟合曲线的正交距离，拟合准则为“所有点到拟合曲线的正交距离的平方和最小”。因此，这种拟合方法称为正交距离回归，又称

10、正交最小二乘法。将占；，叼。分别用口。％表示。曲线的观测方程可表不为只列·¨d(11)Lyf=y‘+创“取坐标戈i和待求参数a为未知数，并令筇f=石?+舐f(i=1