让解题思路更自然些——以直线与圆相交的一组难题为例-论文.pdf

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1、教学参谋解法探究2014年9月让解题思路更自然些——以直线与圆相交的一组难题为例⑩江苏省宝应县安宜高级中学沈永彬在数学教学活动中，会发现有的同学对数学题的解(2)如图1，直线BH的YN答表现出敏捷、灵活，富有独创性，但不少同学表现迟方程为3+y一3=0．日缓、呆板，对于一些固定的方法还能掌握，但对于一些形设P(m，n)(0≤m≤1)，N(x，y)．式较为复杂或方法较为隐含的题目就不知如何入手．对由M是线段PⅣ的中t，于第一类学生，他们的关注点是能否从不同的入口突，D曰破，寻求多种方法求解，而对于后一类学生，就需要在老点，得点(，孚)．一‘师的帮助下，对数学问题进行归纳、抽象找

2、出规律，也就由、Ⅳ都在半径为r是说多题一解，即多个题可用同一种解题方法和理论去f(一3)+(，，一2)=解决，那就必须培养学生在学习过程中重视通解、通法，的圆吐(ra+x孚-2即吃透一道题，掌握一类题，领会大众化的解题方法，让f(x-3)2+(学生从题海中解放出来．))2_4例1：(2014年1月徐州、连云港、宿迁、淮安四市高三因为该关于、Y的方程组有解，即以(3，2)为圆心、r期末统测)已知AABC的三个顶点A(一1，0)、B(1，0)、为半径的圆，与以(6-m,4一n)为圆心、2r为半径的圆有公C(3，2)，其外接圆为。共点，所以(2卜．r)≤(3-6+m)+(2—4+n

3、)≤(r+2r)又(1)若直线z过点c，且被0截得的弦长为2，求直线3m+n一3=0，所以r2≤10m2-12m+10~<9r2VmE[0，1]]成2的方程；立．(2)对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的m)：lOre2-12m+10~[0，1]上的值域为f，101，圆上都存在不同的两点、Ⅳ，使得点M是线段PN的中点，求oc的半径r的取值范围．所以r2≤且10≤9K5首先看命题老师提供的标准答案．由线段BH与圆c无公共点，得(m一3)2+(3—3m一2)2>r2解：(1)线段A的垂直平分线方程为x=0，线段BC的Vm∈[0，1]成立，即．垂直平分线方程为x+y一3=0

4、，所以AABC的外接圆圆心为H(0,3)，半径为、／=、／／而，圆日的方程为x2+(y一3)2=故圆c的半径，的取值范围为I—VT—0，—4V—TO1．【35／l0．设圆心到直线f的距离为d，因为直线f被圆战得的由于直线方程、圆的标准方程与一般方程是江苏高弦长为2，所以d=、／(、／10)L1=3．考考试说明中8个C级(掌握)中的两个，因此在高考或模当直线f垂直于轴时，显然符合题意，~Px=3为所求．拟考试中，这部分内容都是考查的热点．例1(1)中用圆当直线z不垂直于轴时，设直线方程为Y一2=k(一的标准式或一般式求出圆的方程后，根据圆的半径、弦3)，则：3，解得后：_4长的

5、一半、弦心距构成的直角三角形求出直线方程，思．、／1+3路自然且常规；(2)中通过设JIv点坐标将条件转化为两圆综上所述，直线z的方程为x=3或缸一3y一6=0．有公共点问题，考查圆与圆的位置关系．如果用标准答中’?擞-?高中版学2014年9月解法探究谋案提供的方法，就与命题者希望通过一题考查更多的知()+(l2，即+y=2x16—12_2=27，即Q点的轨迹识点吻合了．这个方法是简捷的吗?有无更自然的方法＼二／＼二』呢?当然有!是以原点为圆心、半径为3、／了的圆，所以的最小值另解：(2)如图2，由N为3、／了一、／了．点P在线段BH上，设P(m，日评注：用上面的解法，最佳之

6、处在于有了OH上MN，3—3m)(0≤m≤1)．将题中的量通过RtA0Ⅳ联系在一起，也进一步可得结过点C作CE上删于论：①从轨迹观点看，圆的方程为+y=r2，圆所在平面内E，则为MN的中点．又

7、有定点P(a,b)．该圆上两动点、N，使PM上PN，则矩形为PⅣ的中点，则PE=，0BPMON的顶点9的轨迹方程为0+2r：一a2-b；②从平面37、7．网2几何观点看．平面上一点到矩形一条对角线两端点的距设CE=d(O≤d

8、8d=9r2一[(3-m2+(3m一12]．而上面两道题目，在圆这部分中属于难题了，这两道8d2∈[0，8P)，故O~<9r：-[(3一m)2+(3m一1)]<8叵成立．题目均有多种求解方法，但卸去它们的外在“装饰”后，厂(m)=(3一m)+(3m一1)=lOm2-12m+10在[0，1]上的本质上都是直线与圆相交问题，因此上面解法的共同之值域为[，10]．处就是充分利用弦心距、弦长的一半与相应的半径构成)的直角三角形得到相应的关系．如果我们不能看清问题『9r2-10≥0，一一、的本质，必将被其迷惑，难