拉格朗日函数法——证明条件不等式的好帮手-论文.pdf

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1、·6-理科考试研究·数学版2014年9月1Et拉格朗日函数法证明条件不等式的好帮手四川省南充西华师范大学637000张小丹文[1]用权方和不等式对2011年爱沙尼亚国家队选拔考试第4题进行了证明，但是由于权方不等式不太被人熟悉，所分别令=0,Lr=0，=0，得3y31m+以一般不会想到，而且我们在使用它时需要对原不等式进行配凑或变形．下面我们将用另一种方法——拉格朗日函数法来’，·-·-·--一凡)，．。．=Y=，孔+n．证明此条件不等式．(注：条件不等式是指在某个条件下成立的又=一=一ny=2mx厶=o=2一．不等式，如下题，在条件2a+b=9c这个大前提下，

2、证明鱼+÷≥．／5成立)⋯题目设0，6，c为正实数，满足20。+b=9c，证明丝+H∽：[lIL(n)0—rm——、嘉／二m==。n]JIlc。，≥．(2011爱沙尼亚国家队选拔考试题)1●●●●k●嘉●●J证明要证丝+C≥／5，即证+1≥鱼由,．于是f(x，y)≥，)=—m==+设关于n，b的二元目标函数，(。，6)=÷T1，构造拉格朗日函数L(a，b，A)=-厂(口，b)+A(2az+62—9c2)，其中c为常数一“，一寺2bA，L=2口+6_9c·∑。=(∑。)，证明：∑ai≥_．分别令上式的L=0，L6=0，L=0，得a=b=c，A=证明设目标函数。，：

3、，⋯，)=∑—=a_iI，构造拉格朗丽‘为了知道_厂(a，b)在点(√3c，√3c)是否取得极小值，我们用日函数(，：，⋯，％，A)：∑_ai+A[∑。一(∑。)]，黑塞矩阵来加以判断．A为常数-于是一ai+2A吼=1，2，⋯，n，￡n，Ⅱ=一=一古。==0=‘2，于是，(n，，一(∑ai)．b)在点(Yc，)处的黑塞矩阵为(=令=O,La=0，得3=1=()手‘=，．于H(为正定矩阵，所以a，b)在(,／5C，√3c)处取极小值，'1'1／虿√l，2，⋯，m此时也为最小值，于是三一+÷≥三}+：，证毕．043C43C小结在证明与条件不等式相关的命题时，如果采用

4、基本不等式的方法，我们往往需要对原不等式进行变形、配凑，才于是函数，(，⋯n)在(√n，√。。。，能达到目的．而这一处理往往是一个难点，若处理不当或许就无法证明出来．但是，如果我们采用构造拉格朗日函数的方法，O⋯0则不需要作任何处理，思想简单，方便易行．2a，下面我们再来看几道例题，再次体会此法的妙处!—⋯0黑塞矩阵=显以下两个定理以及推广来自于《江西中学数学研究》(2013，10)，本文引用该命题，尝试用拉格朗日函数法来证明．n20⋯U—丁定理1设，Y，m，n为正实数，满足m+ny2=(m+n然该矩阵为正定矩阵，于是函数，(。，，⋯，)在该点处取得极小值，此时

5、也为最小值．证明设目标函数，y)詈+号，构造拉格朗日函数￡(，Y，A)=-厂(，Y)+A[臌。，2一(m+It)]，A为常数．一⋯)≥砉i=1赢^，／二‘镥i=1’·．．L=一号+2Amx，L=一号+2Any，=mx+ny一'，定理2设x,y，m，n为正实数，满足+ny=(m+2014年9月1日理科考试研究·数学版·7·2mn)，证明：+旦≥0Y(m+n)丁阵为／t(23=，显然该矩阵为正证明设目标函数_厂(，，，)=+，构造拉格朗日函数02m(m+几)了L(x，Y，A)=，Y)+A[mx+nz3一(m+／7,)]，A为常数．定矩降．‘．函数，(，Y)在该点取得

6、极小值，此时也为最小值．=一+3Amx2,Ly=一-7+3Any2,=。+一于是，Y)≥_厂((m+／'t)丁，(m+)丁)=(rr／．+n)丁．(m+n)·分别令t=0，=0，=0，得=：1=(m虽然用拉格朗日函数法要涉及到稍微复杂一点的计算，但其优点是不需要对待证不等式进行比较复杂的变形或配凑，只82+凡)了，．‘．=Y=(m+n)丁．需要根据方法，亦步亦趋，就能准确快速走到终点!参考文献[1]林军，厉倩．几个新型不等式的推广与简又=一=一号=2僦=0厶=2ny～，证[J]．中学数学研究，2013(10)于是函数，，，)在点((m+)手(m+)手)处的黑塞矩

7、[2]华东师范大学数学系编．数学分析[M]．上海：华东师，范大学出版社，2001两条直线位置关系的判断山东省东阿实验高中252200姜焕玲平面解析几何中，两条直线位置关系判断是重点，也是易(2)fl、f2重合铮Al=错点．特别是含有参数的题目，学生往往忽视对参数的讨论，导毒=；致增解或丢解，下面结合例题加以说明．(3)z、f2相交铮A1≠B1．一、方法整合已知直线2l：Al+B1Y+Cl=0；l2：A2+B2Y+C2=0．注：由于是分式有限制条件，在应用时用分式形式记忆，用方法一将两条直线联立方程组，根据方程组解的个数整式计算．判断位置关系二、典型例题方程组{A

8、IX+Bly+C当a为何