可压缩等熵欧拉方程组外问题的爆破-论文.pdf

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1、第31卷第3期华东交通大学学报Vo1．31No．32014年6月JournalofEastChinaJiaotongUniversityJun．，2014文章编号：1005．0523(2014)03．0105．05可压缩等熵欧拉方程组外问题的爆破朱旭生，陈家乐，汤传扬(华东交通大学基础科学学院，江西南昌330013)摘要：考虑等熵欧拉方程组在初始条件具有紧支集支撑下外问题的初边值问题经典解的爆破。通过创造性地构造新的泛函，当初始泛函足够大时得出了初边值问题的经典解在有限时间内爆破的结论。关键词：可压缩等熵欧拉方程组；泛函；经典解；爆破

2、中圈分类号：0175．4文献标志码：A考虑三维可压缩等熵欧拉方程组P+V"pu=01r1、p(u+u‘V“)+=0f式中的初边值问题。其中：t>0，P，U，P分别表示气体的密度，速度和压强。状态方程为：P=和，(A>O,y>1)，为绝热指数。初值条件为(p，“)(，0)=+p。()，“。()](2)这里+p。(>0，supp(p。，“。)Ixl≤，为正常数，易知在Ixl≥+Gt之外6o，=，0)，其中：or=√。对方程(1)的初值问题研究成果已经很多，TomasCSideris在文献[1]和文献[2]中分别得到了上述问题的关于非等熵情

3、形和等熵情形在中初值问题的一些爆破性结论，其中一些结果汇集在文献[3]中。文献[4]用泛函方法研究了非等熵欧拉方程组解的爆破，文献[5]研究了带非线性阻尼项的解的爆破；梁在文献[6]中，对具有温度项的可压缩欧拉方程进行了研究，通过引入特殊的速度函数u(x，=c(t)x+得到一类显式光滑解，并由此得到了欧拉方程解的爆破结论和整体存在性，文献E71继续了这类研究；YuenM在文．1献[8]中研究了有外力项的欧拉方程组解的爆破。本文研究了在。n=0，。凡=0两种情形边2x3l辛寄界条件下，方程(1)在球体和椭球体外的爆破结论，通过创造性地构

4、造出了新的泛函(即下面的F()和H(t1)得出了上述方程在初始数据一定限制下c解不可能整体存在的结论。定义令m()=_『p一，(对定理2，m(t)=．p一)则显然有m(￡)=m(0)。II首先考虑单位球体≤1，这时前文中的>1。令F(t)=I-1f)(Ixl一1)x"pudx，Q：I1≤IxI≤尺+，1Q。：I1≤≤R}，边值条件为：‘n=0，n表示单位球面的外法向量。收稿日期：2014—03—02基金项目：国家自然科学基金项目(11161021)；江西省高校科技落地计划项目(KJLD12067)作者简介：朱旭生(1968一)，男，副

5、教授，主要研究方向为偏微分方程。106华东交通大学学报2014正定理1假设(p，u)是在≥l，∈R)×[0，71)上的满足如上初边值条件的C解，对任意固定的下>0，如果礼礼、，)ax榔⋯卿c尺⋯⋯，其中p=ap~，那么<丁。P八n证明将F(t1求导并且利用方程组(1)得F()=fplu+(5I3)()fplM+(51)p一(53)(3)fnpl)一n’)≥nI一1)一J。[()一(R)】‘另一方面—．．．．．．．．，，．．．．、●●●●●●●●，●●tIL，，●●●●●●●●●J3．F2(￡)≤Jn10I一1)IxIpJn10I一1)

6、plI≤(R+t)．n『pJn10I一1)pluIdx．．．训+lIh(4)lI～由于m(0)+(尺+)>。，为￡的单调增加函数，当=。时为，n(0)+椰。>￡p，o)>。。FhJ=~可得!(ixl2-1)≥F(t)2(5)F()≥；F(t)：2丽一[(尺+￡)5一(尺+￡)。]≥8(斛一)l南l十8(n一l南m(0)l等[(R+ert)S-(R+~rt)2](6)≥8i(尺+：翻)4l南m(o)+(R+)。l+8(_+：：)4Im(o)+(R+)I一3钉[(R+．r)5一(+r)2]一[(R+一(+】>o(7)可得F(0)>0，进而

7、F(t)>F(O)至少对充分小的t成立，可推出如下式子成立第3期朱旭生，等：可压缩等熵欧拉方程组外问题的爆破一(8)≥3酬⋯朋南一l进而可推出南<1_『3(9)设丽1_『⋯(10)由于(9)中积分项为正，故积分值是关于t的增函数。故由定理条件可以推出t<，<。注当考虑的区域为任意球体≤，其中R。

8、(￡)=．：fn．I口l+以2+／23一1pudx，边值条件为M·n’‘=0，凡表示椭球面的外法向量。记口：max-11t2．，，}，那么有如下的结论成立：ata2a3J定理2假设(p，)是在{。)I生al2+荽+荽≥1