绵阳2015年三诊考试数学(文科)试题及答案.doc

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1、绵阳市高2012级第三次诊断性考试数学(文史类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．BCBACDCACB10．提示：当AB垂直于x轴时，显然不符合题意．设AB中点为，于是．∴可设直线的方程为，联立方程：消去得：，∴y1+y2=2t，y1y2=2t2-8，∴由，得，令时，得，∴，于是S△MAB．令，则，∴当时，(S△MAB)max=8，此时．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．412．13．20814．615．②③④三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解：(Ⅰ)由题意有，解得．∵低于60

2、分的频率为，∴被抽查的学生有人，即n=20．………………………………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，分数组的学生有人，分数组的学生有4人，记这6人分别为、，、、、(、表示不同分类组)，从中随机选取2人，不同的选法有：、、、、、、、、、、、、、、共15种，………………………………9分2人在同一分数组的选法有：、、、、、、共7种，………………11分∴2人在同一分数组的概率．……………………………………12分17．(Ⅰ)证明：连接B1C交BC1于O，连接OD．∵O，D分别为B1C与AC的中点，OD为△AB1C的中位线，OD//AB1．又∵AB1平面BDC1，OD

3、平面BDC1，∴AB1//平面BDC1．………………………………………………………5分（Ⅱ）解：连接A1B，作BC的中点E，连接DE，如图．∵A1C1=BC1，∠A1C1B=60º，A1B1C1CBADOE∴△A1C1B为等边三角形．∵侧棱BB1⊥底面A1B1C1，∴BB1⊥A1B1，BB1⊥B1C1，∴A1C1=BC1=A1B==．………7分∴在Rt△BB1C1中，B1C1==2，于是，A1C12=B1C12+A1B12，∴∠A1B1C1=90º，即A1B1⊥B1C1，∴A1B1⊥面B1C1CB．又∵DE//AB//A1B1，∴DE⊥面B1C1

4、CB，即DE是三棱锥D-BCC1的高．……………………9分∴===．∴=．……………………………………………………………………12分18．解：(Ⅰ)由图象知，，故，，即，于是由，解得．∵，且，解得．∴．…………………………………………………4分由≤≤，，解得≤x≤，，即在R上的单调递增区间为．………………6分(Ⅱ)由条件得：，即．∵且在上是增函数，>0，>0，在上是减函数，∴，∴，…………………………………………………………9分∴，…………………………………10分∴．…………………………………………………………12分19．解：(Ⅰ)设数列{an}

5、公差为d，由题设得解得∴数列{an}的通项公式为：(n∈N*)．………………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知：…………………………………6分①当为偶数，即时，奇数项和偶数项各项，∴ ；………………………9分②当为奇数，即时，为偶数．∴．综上：…………………………12分20．解：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c，则c=1．又由e=，可解得a=，∴b2=a2-c2=2，∴椭圆的标准方程为．……………………………………………3分(Ⅱ)设过焦点F1的直线为l．①若l的斜率不存在，则A(0，-)，B(0，)，即

6、AB

7、=2，显然当N在短轴顶点(0，)或(0，)时，

8、△NAB面积最大，此时，△NAB的最大面积为．……………………………5分②若l的斜率存在，不妨设为k，则l的方程为．设．联立方程：消去整理得：，∴，，则．…………………………………………7分∵当直线与l平行且与椭圆相切时，此时切点N到直线l的距离最大，设切线，联立消去整理得：，由，解得：．………………………………………………9分又点到直线的距离，∴，∴．………………………………………………10分将代入得：．令，设函数，则，∵当t∈时，>0，当t∈时，<0，即在上是增函数，在上是减函数．∴，故时，△NAB面积最大值是．…………………………………12

9、分显然，∴当l的方程为时，△NAB的面积最大，最大值为．……………………………13分21．(Ⅰ)解：∵，∴．又，∴在点处的切线方程为：，即．………………………………3分(Ⅱ)解：=，∴，由解得，由解得，∴函数的单增区间是，函数的单减区间是．…………………………………6分(Ⅲ)证明：由≤可变为≤0．令，，则．由可得，由可得，所以在单调递减，在单调递增．………………………7分根据题设知：，可解得．①若≤，即时，∵在单调递减，∴≤0，即≤0对恒成立．令，≤0，则，即在上是减函数；则，所以对任意，≤0成立．……………………10分②当，即时，当且仅当≤0，

10、即≥e，此时．……………………………………………………11分③当≥时，即时，∵在上单调递减，∴≤0，令，即≤0恒成立．因为，所以在上是减