（江苏专用）2013高考数学总复习 （基础达标演练+综合创新备选）第六篇 数列、推理与证明《第37讲　直接证明与间接证明》理（含解析） 苏教版.doc

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1、2013高考总复习江苏专用（理科）：第六篇数列、推理与证明《第37讲　直接证明与间接证明》（基础达标演练+综合创新备选，含解析）A级　基础达标演练(时间：45分钟　满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．下列各式中对x∈R都成立的序号是________．①lg(x2＋1)≥lg(2x)②x2＋1＞2x③≤1④x＋≥2解析　①④中x必须大于0，故①④排除，②中应x2＋1≥2x，故②不正确．答案　③2．用反证法证明命题：“已知a，b∈N，若ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，反设是__

2、______．解析　由反证法的定义得，反设即否定结论．答案　a，b都不能被5整除3．下列命题：①三角形中至少有一个内角不小于60°；②四面体的三组对棱都是异面直线；③闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点；④设a，b∈Z，若a＋b是奇数，则a，b中至少有一个为奇数；其中假命题的序号是________．解析　a＋b为奇数⇔a，b中有一个为奇数，另一个为偶数，故④错误．答案　④4．命题“如果数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}一定是等差数列”是________命题(填“真”、“假

3、”)解析　∵Sn＝2n2－3n，∴Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)(n≥2)，∴an＝Sn－Sn－1＝4n－5(n＝1时，a1＝S1＝－1符合上式)．又∵an＋1－an＝4(n≥1)，∴{an}是等差数列．答案　真5．设a、b、c均为正实数，则三个数a＋、b＋、c＋，则下列关于a，b，c三个数的结论，正确的序号是________．①都大于2②都小于25③至少有一个不大于2④至少有一个不小于2解析　∵a＞0，b＞0，c＞0，∴＋＋＝＋＋≥6，当且仅当a＝b＝c时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一

4、个不小于2.答案　④6．要证明“＋＜2”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是________(填序号)．①反证法，②分析法，③综合法．答案　②7．(2011·广东韶关模拟)下列条件：①ab＞0，②ab＜0，③a＞0，b＞0，④a＜0，b＜0，其中能使＋≥2成立的条件的个数是________．解析　要使＋≥2，只要＞0且＞0，即a，b不为0且同号即可，故有3个．答案　3二、解答题(每小题15分，共45)8．已知a，b，c是互不相等的实数．求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2a

5、x＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．证明　假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点(即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点)，由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a，y＝cx2＋2ax＋b，得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，Δ2＝(2c)2－4ab≤0，Δ3＝(2a)2－4ac≤0，上述三个同向不等式相加得，4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ca≤0，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，∴

6、a＝b＝c，这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证．9．设a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.5证明　∵a＋b＝1，∴＋＋＝＋＋＝1＋＋1＋＋≥2＋2＋＝2＋2＋4＝8.10．已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：≤.证明　a⊥b⇔a·b＝0，要证≤.只需证

7、a

8、＋

9、b

10、≤

11、a＋b

12、，只需证

13、a

14、2＋2

15、a

16、

17、b

18、＋

19、b

20、2≤2(a2＋2a·b＋b2)只需证

21、a

22、2＋2

23、a

24、

25、b

26、＋

27、b

28、2≤2a2＋2b2，只需证

29、a

30、2＋

31、b

32、2－2

33、a

34、

35、b

36、≥0，即(

37、a

38、－

39、b

40、)2≥0，

41、上式显然成立，故原不等式得证．B级　综合创新备选(时间：30分钟　满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．已知函数f(x)＝x，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系为________．解析　∵≥≥，又f(x)＝x在R上是减函数．∴f≤f()≤f.答案　A≤B≤C2．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：答案　n53．用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°”时，假设应该是______解析　用反证法证明命题时，假设结论不成立，即否定命题．答

42、案　三角形的三个内角都大于60°4．设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是________．(填写所有正确条件的代号)①x为直线，y，z为平面；②x，y，z为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线；⑤x，y，z为直线．解析　①中x⊥平面z，平面y⊥平面z，∴x∥平面y或x⊂平面y.又∵x⊄平面y，∴x∥