资源描述：
《（江苏专用）2013高考数学总复习 （基础达标演练+综合创新备选）第三篇 导数及其应用《第15讲 用导数研究函数的最值》理（含解析） 苏教版.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2013高考总复习江苏专用（理科）：第三篇导数及其应用《第15讲 用导数研究函数的最值》（基础达标演练+综合创新备选，含解析）A级 基础达标演练(时间：45分钟 满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．函数f(x)＝x3－3x＋1在[－3,0]上的最大值，最小值分别为________．解析 f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝1，f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(1)＝－1，f(0)＝1.比较可得f(x)max＝f(－1)＝3，f(x)min＝f(－3)＝－17.答案 3，－172．已知a＞0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞]上单调递增，则a
2、的最大值是________．解析 因为f′(x)＝3x2－a，所以由题意可得在[1，＋∞)上有3x2－a≥0恒成立，所以a≤(3x2)min，而(3x2)min＝3，所以a≤3.答案 33．函数f(x)＝－x3＋x在(a,10－a2)上有最大值，则实数a的取值范围是________．解析 由f′(x)＝－x2＋1，易知f(x)在(－∞，－1)上递减，在(－1,1)上递增，在(1，＋∞)上递减．故函数在(a,10－a2)上存在最大值的条件为答案 [－2,1)4．若函数f(x)＝(a＞0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．答案 －15．设函数f(x)＝x3－－2x＋5，若
3、对任意x∈[－1,2]，都有f(x)＞m，则实数m的取值范围是________．解析 f′(x)＝3x2－x－2＝0，解得x＝1或－，f(－1)＝，f＝，f(1)＝，f(2)＝7.∴m＜.答案 m＜86．已知函数f(x)＝x－sinx，若x1，x2∈且x1＜x2，则f(x1)，f(x2)的大小关系是________．解析 f′(x)＝1－cosx≥0，所以f(x)在上单调递增，所以f(x1)＜f(x2)．答案 f(x1)＜f(x2)7．若函数在f(x)＝－x3＋x在(a,10－a2)上有最大值，则实数a的取值范围为________．解析 ∵f(x)＝－x3＋x(x∈R)，则f′(x)＝－x
4、2＋1＝－(x－1)(x＋1)，∴f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减，在(－1,1)单调递增，由题意知，当x＝1时，f(x)取得最大值，1∈(a,10－a2)．即∴－3＜a＜1.答案 (－3,1)二、解答题(每小题15分，共45分)8．(★)已知函数f(x)＝x2e－ax，其中a＞0.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在[1,2]上的最大值．思路分析 (1)利用导数确定函数的单调区间．(2)因表达式中含有参数，原函数在区间[1,2]上的单调性不确定，因此要对参数讨论．解 (1)f′(x)＝2xe－ax＋x2(－a)e－ax＝e－ax(－ax2＋2x)．令f′(x)＞
5、0，由e－ax＞0，得－ax2＋2x＞0，解得0＜x＜，所以f(x)在(－∞，0)和内是减函数，在内是增函数．(2)①当0＜＜1，即a＞2时，f(x)在(1,2)内是减函数，∴在[1,2]上f(x)max＝f(1)＝e－a；②当1≤≤2，即1≤a≤2时，f(x)在内是增函数，在内是减函数．所以在[1,2]上f(x)max＝f＝4a－2e－2；③当＞2，即0＜a＜1时，f(x)在(1,2)是增函数，∴在[1,2]上f(x)max＝f(2)＝4e－2a.综上所述，当0＜a＜1时，f(x)在[1,2]上的最大值为4e－2a；当1≤a≤2时，f(x)在[1,2]上的最大值为4a－2e－2；当a＞2
6、时，f(x)在[1,2]上的最大值为e－a.【点评】8本题充分体现了分类讨论思想．近几年新课标高考常考查含参数的导数问题，难度中等偏上，考生最容易失分的就是对参数的分类标准把握不准，导致分类不全等．9．设函数f(x)＝－x3＋2ax2－3a2x＋b,0＜a＜1.(1)求函数f(x)的单调区间、极值；(2)若x∈[0,3a]，试求函数f(x)的最值．解 (1)f′(x)＝－x2＋4ax－3a2.令f′(x)＝0，解得x＝a或x＝3a，列表如下：x(－∞，a)a(a,3a)3a(3a，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)递减－a3＋b递增b递减由表可知：当x∈(－∞，a)时，函数f(x)为减函数
7、；当x∈(3a，＋∞)时，函数f(x)也为减函数；当x∈(a,3a)时，函数f(x)为增函数．∴当x＝a时，f(x)的极小值为－a3＋b；当x＝3a时，f(x)为增函数．(2)x∈[0,3a]，列表如下：x0(0，a)a(a,3a)3af′(x)－0＋0f(x)b递减－a3＋b递增b由表知：当x∈(0，a)时，函数f(x)为减函数；当x∈(a,3a)时，函数f(x)为增函数．∴当x＝a时，f(x)的最小值为－a3＋b；当
