（江苏专用）2013高考数学总复习 （基础达标演练+综合创新备选）第八篇《第48讲　空间几何体的表面积与体积》理（含解析） 苏教版.doc

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1、2013高考总复习江苏专用（理科）：第八篇《第48讲　空间几何体的表面积与体积》（基础达标演练+综合创新备选，含解析）A级　基础达标演练(时间：45分钟　满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．(2011·常州模拟)在三棱锥SABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB＝BC＝CA＝2，则三棱锥SABC的表面积是________．解析　设侧棱长为a，则a＝2，a＝，侧面积为3××a2＝3，底面积为×22＝，表面积为3＋.答案　3＋2．(2010·湖北)圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同

2、的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.解析　设球的半径为rcm，则πr2×8＋πr3×3＝πr2×6r.解得r＝4cm.答案　43．(2010·苏州模拟)如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．解析　由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为，所以体积V＝×1×1×＝.答案　4．(2011·扬州模拟)如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1

3、的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1ABC1的体积为________．8解析　三棱锥B1ABC1的体积等于三棱锥AB1BC1的体积，三棱锥AB1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝.答案　5．某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40mm，满盘时直径120mm，已知卫生纸的厚度为0.1mm，则满盘时卫生纸的总长度大约是________m(π取3.14，精确到1m)．解析　卫生纸总长度为≈3.14×32000＝100480(mm)≈100(m)．答案　1006．(2010·苏州模拟)已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1

4、，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V＝________.解析　该凸多面体由一个正方体及一个正四棱锥组成，因为正方体的棱长为1，所以V正方体＝13＝1，因为正四棱锥的棱长全为1，所以正四棱锥的底面积为1×1＝1，又因为正四棱锥的高为＝，所以此凸多面体的体积V＝1＋×1×＝1＋.答案　1＋87．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离，平面α，β，γ两两互相垂直，点A∈α，点A到平面β，γ的距离都是3，点P是α上的动点，且满足P到β的距离是P到点A距离的2倍，则点P到平面γ的距离的

5、最小值为________．解析　由题意，可在平面α建立直角坐标系如图所示，问题变为已知PB＝2PA，求PC的最小值，设P(x，y)，则有3－x＝2，即4y2＝－3(x＋1)2＋12≤12，y≤，所以PC＝3－y≥3－，故所求的最小值为3－.答案　3－二、解答题(每小题15分，共45分)8．在四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a.(1)求该四面体的体积的最大值；(2)当四面体的体积最大时，求其表面积．解　(1)如图，在四面体ABCD中，设AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，取AD的中点为P，BC的中点为E，连接BP、EP、CP.得到AD

6、⊥平面BPC，∴VABCD＝VABPC＋VDBPC＝·S△BPC·AP＋S△BPC·PD＝·S△BPC·AD＝··a·x＝≤·＝a3(当且仅当x＝a时取等号)．∴该四面体的体积的最大值为a3.(2)由(1)知，△ABC和△BCD都是边长为a的正三角形，△ABD和△ACD8是全等的等腰三角形，其腰长为a，底边长为a，∴S表＝2×a2＋2××a×＝a2＋a×＝a2＋＝a2.9．一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，求这个三棱锥的体积．解　如图所示，正三棱锥SABC.设H为正△ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高．连接AH并延长交B

7、C于E，则E为BC的中点，且AH⊥BC.因为△ABC是边长为6的正三角形，∴AE＝×6＝3，所以AH＝AE＝2.在△ABC中，S△ABC＝BC·AE＝×6×3＝9.在Rt△SHA中，SA＝，AH＝2，所以SH＝＝＝，故V正三棱锥＝S△ABC·SH＝×9×＝9.10．如图所示，斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧棱长等于b，一条侧棱AA1和底面相邻两边AB、AC都成45°角，求这个三棱柱的侧面积．解　求斜棱柱的侧面积一般有两种方法：一是定义法；二是公式法．8因为AA1和底面AB、AC成等角，且为45°角，所以A1在底面ABC

8、上的射影在∠BAC的平分线AG上，又△ABC为正三角形，所以AG⊥BC.因为A1A在底面ABC上的射影在AG上，所以BC⊥A1A.又A1A∥B1B，所以B1B⊥BC