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1、(江苏专用)2013年高考数学总复习第八章第6课时双曲线课时闯关(含解析)[A级 双基巩固]一、填空题1.已知双曲线的中心在原点,一个顶点的坐标是(-3,0),且焦距与实轴长之比为5∶3,则双曲线的标准方程是________.解析:可求得a=3,c=5.焦点的位置在x轴上,所得的方程为-=1.答案:-=12.已知双曲线-=1的右焦点为,则该双曲线的渐近线方程为________.解析:∵c=,∴c2=13,∴9+a=13,∴a=4.又∵焦点在x轴上,∴渐近线方程y=±x.答案:y=±x3.已知双曲线-=1
2、的一条渐近线方程为y=x,则该双曲线的离心率e为________.解析:设m>0,n>0,∴ =,∴=.∴=.∴e=.设m<0,n<0.则-=1,∴ =.∴=.∴=.∴=.∴e=.∴双曲线的离心率为或.答案:或4.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的实轴长为2,离心率为2,则双曲线C的焦点坐标是________.解析:由题意得:a=1,e==2,所以c=2,又由标准方程可得焦点在x轴上,所以焦点坐标为(±2,0).答案:(±2,0)65.若方程+=1表示双曲线,则实数k的取值范围是________.
3、解析:若方程表示双曲线,则有或,解得-25.答案:(-2,2)∪(5,+∞)6.如果双曲线-=1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离是________.解析:双曲线的右准线为l:x=.离心率为,从而
4、xP-
5、=×2,∴xP==(因右焦点为F2(,0).P点必在右支上,负根舍去).故点P到y轴的距离为.答案:7.(2011·高考福建卷改编)设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1,F2,若曲线C上存在点P满足
6、PF1
7、∶
8、F1F2
9、∶
10、PF2
11、=4∶3∶2则曲线C的离心率为____
12、____.解析:设
13、PF1
14、=4k,
15、F1F2
16、=3k,
17、PF2
18、=2k(k>0).若圆锥曲线为椭圆,则2a=6k,2c=3k,e==.若圆锥曲线为双曲线,则2a=4k-2k=2k,2c=3k,e==.答案:或8.设双曲线x2-y2=1的两条渐近线与直线x=围成的三角形区域(包含边界)为D,点P(x,y)为D内的一个动点,则目标函数z=x-2y的最小值为________.解析:如图所示A,B.而z=x-2y,即y=x+.过A时,zmin=-2×=-.答案:-二、解答题9.已知双曲线关于两坐标轴对称,且与
19、圆x2+y2=10相交于点P(3,-1),若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行,求此双曲线的方程.解:切点为P(3,-1)的圆x2+y2=10的切线方程是3x-y=10.6∵双曲线的一条渐近线与此切线平行,且双曲线关于两坐标轴对称,∴两渐近线方程为3x±y=0.设所求双曲线方程为9x2-y2=λ(λ≠0).∵点P(3,-1)在双曲线上,代入上式可得λ=80,∴所求的双曲线方程为-=1.10.由双曲线-=1上的一点P与左、右两焦点F1、F2构成△PF1F2,求△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点坐
20、标.解:由双曲线方程知a=3,b=2,c=.当P在双曲线右支上时,如图,N为内切圆与边F1F2的切点,根据从圆外一点引圆的两条切线长相等及双曲线定义可得
21、PF1
22、-
23、PF2
24、=2a,
25、NF1
26、-
27、NF2
28、=
29、PF1
30、-
31、PF2
32、=2a.①
33、NF1
34、+
35、NF2
36、=2c.②由①②得
37、NF1
38、==a+c.∴
39、ON
40、=
41、NF1
42、-
43、OF1
44、=a+c-c=a=3.故切点N的坐标为(3,0).根据对称性,当P在双曲线左支上时,切点N的坐标为(-3,0).[B级 能力提升]一、填空题1.在平面直角坐标系xOy中,已知
45、△ABC的顶点A(-5,0)和C(5,0),顶点B在双曲线-=1上,则为________.解析:设△ABC中角A、B、C所对的边分别是a、b、c,由正弦定理得=,由双曲线的标准方程和定义可知,A、C是双曲线的焦点,则在△ABC中b=10,
46、c-a
47、=8.所以==.答案:2.过双曲线-=1(a>0,b>0)的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C.若A=B,则双曲线的离心率是________.解析:直线l:y=-x+a与渐近线l1:bx-ay=0交于B,l与渐近线l2:b
48、x+ay=0交于C,又A(a,0),∴A=,6B=.∵A=B,∴=,b=2a,∴c2-a2=4a2,∴e2==5,∴e=.答案:3.(2010·高考课标全国卷改编)已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为________.解析:由已知kAB==1.设E:-=1,A(x1,y1),B(x2,y2),∴-=1,-=1,则-=0,而所以==1,b2=a2.