高考数学复习点拨 解读双曲线定义及其标准方程.doc

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1、解读双曲线定义及其标准方程一、双曲线的定义定义:平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.集合表达式:.从以下几个方面加强对定义的理解:1.对教材拉链实验的理解如图,从左边开始都减去等量的线段后,差仍然是.2.定义中的三个关键词定义中有三个“关键词”:“小于”、“绝对值”、“常数”,这三个关键词始终伴随着双曲线,在解题时,应首先考虑.(1)关于“小于”,①若将“小于”改为“等于”,其余条件不变,则曲线为两条射线.②若将“小于”改为“大于”,其余条件不变,则曲线就不存在.(2)关于“绝对值”若将“绝对值”去掉,其余条件不变,则点的轨迹为双曲线的一支

2、.(3)关于“常数”若“常数”等于零,其余条件不变,则点的轨迹是线段的中垂线.当然以上还有前提是:在平面内,若去掉“在平面内”,则就是空间图形了,不是中学所研究的范畴.例 若点(,且为常数)为两个不同定点,且点满足(,为常数),求点的轨迹.分析:抓住双曲线定义中的三个“关键词”,不难分为,,及四种情况讨论.解:①若,点的轨迹不存在;②若,点的轨迹是以点为端点向右延伸的射线;③若,点的轨迹是以点为焦点的双曲线的右支,这时的双曲线方程为用心爱心专心;④若,点的轨迹是线段的垂直平分线.二、双曲线的标准方程双曲线的标准方程中“标准”的含义有两层:其一是两个焦点在坐标轴上,其二是两个焦点的中点与

3、坐标原点重合.当焦点在轴上时,双曲线的标准方程为();当焦点在轴上时,双曲线的标准方程为.说明:(1)双曲线的焦点在轴上时,项的系数为正数,项的系数为负数,其焦点坐标为,且;双曲线的焦点在轴上时,项的系数为正数,项的系数为负数,其焦点坐标为,且.(2)在双曲线的标准方程中,与无大小之分,但,且有.(3)有关双曲线方程的实际应用问题是教材的一个难点,体现了数学的使用价值,可以激发我们学习数学的兴趣,那么,如何解答这类题型呢?①建立数学模型:就是要在读懂题意的基础上,转化为双曲线问题;②以定义法求双曲线的方程,这里注意所求方程是双曲线的一支还是两支符合条件;③再以纯数学解答结果来解释其应用

4、.重难点解析:双曲线的定义和标准方程与椭圆类似,如,双曲线的标准方程也是从两点间的距离关系推倒出来的.本节在数学思想和方法上没有新内容,在学习中应着重对比双曲线和椭圆的相同点与不同点,特别要注意它们的不同点.用心爱心专心

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