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时间:2020-06-08
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1、双曲线的第二定义 观察教材第57页例5我们可知双曲线的轨迹还可以用另一种形式给出,这就是双曲线的第二定义,此定义可以快速解决某些双曲线问题,下面对其作简单介绍: 一、双曲线的第二定义 例1 点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数,求点的轨迹. 解:设是点到直线的距离.根据题意,所求轨迹就是集合,由此得.化简,得.设,就可化为,这是双曲线的标准方程,所以点的轨迹是实轴长、虚轴长分别为的双曲线(如图). 由例1可知,当点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时,这个点的轨迹是双曲线.定点是双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数是双曲线的离心率. 对
2、于双曲线,相应于焦点的准线方程是,根据双曲线的对称性,相应于焦点的准线方程是,所以双曲线有两条准线. 二、第二定义的应用 例2 一动点到定直线的距离是它到定点的距离的用心爱心专心,求这个动点的轨迹方程. 误:由题意知动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为2,所以动点的轨迹是双曲线. 又,. 准线,,即. 故双曲线方程为. 析:错解中误认为曲线中心为原点.仅由焦点(即定点)和准线(定直线)方程,不能得出及. 正:由题设知离心率, 又定点与定直线是双曲线相应的右焦点与右准线, 所以,,解得. 所以双曲线中心为. 又,故双曲线方程为. 评注:在应用第
3、二定义时,应先确定定点不在定直线上,否则轨迹将是两条相交的直线,同时还应明确曲线中心的位置,因为中心不同的曲线有其不同的方程.用心爱心专心
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