高中数学竞赛讲义-函数的基本性质（练习题）.doc

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1、课后练习1.已知f(x)＝ax5＋bsin5x＋1，且f⑴＝5，则f(－1)＝()A.3B.－3C.5D.－52.已知(3x＋y)2001＋x2001＋4x＋y＝0，求4x＋y的值.3.解方程：ln(＋x)＋ln(＋2x)＋3x＝04.若函数y＝log3(x2＋ax－a)的值域为R，则实数a的取值范围是______________.5.函数y＝的最小值是______________.6.已知f(x)＝ax2＋bx＋c，f(x)＝x的两根为x1，x2，a＞0，x1－x2＞，若0＜t＜x1，试比较f(t)与x1的大小.7.f(x

2、)，g(x)都是定义在R上的函数，当0≤x≤1，0≤y≤1时.求证：存在实数x，y，使得8.设a，b，c∈R，

3、x

4、≤1，f(x)＝ax2＋bx＋c，如果

5、f(x)

6、≤1，求证：

7、2ax＋b

8、≤4.9．已知函数f(x)＝x3－x＋c定义在[0，1]上，x1，x2∈[0，1]且x1≠x2.⑴求证：

9、f(x1)－f(x2)

10、＜2

11、x1－x2

12、；⑵求证：

13、f(x1)－f(x2)

14、＜1.-5-用心爱心专心课后练习答案1.解：∵f⑴＝a＋bsin51＋1＝5设f(－1)＝－a＋bsin5(－1)＋1＝k相加：f⑴＋f(－1)＝2＝5＋

15、k∴f(－1)＝k＝2－5＝－3选B2.解：构造函数f(x)＝x2001＋x，则f(3x＋y)＋f(x)＝0逐一到f(x)的奇函数且为R上的增函数，所以3x＋y＝－x4x＋y＝03.解：构造函数f(x)＝ln(＋x)＋x则由已知得：f(x)＋f(2x)＝0不难知，f(x)为奇函数，且在R上是增函数(证明略)所以f(x)＝－f(2x)＝f(－2x)由函数的单调性，得x＝－2x所以原方程的解为x＝04.解：函数值域为R，表示函数值能取遍所有实数，则其真数函数g(x)＝x2＋ax－a的函数值应该能够取遍所有正数所以函数y＝g(x)

16、的图象应该与x轴相交即△≥0∴a2＋4a≥0a≤－4或a≥0解法二：将原函数变形为x2＋ax－a－3y＝0△＝a2＋4a＋4·3y≥0对一切y∈R恒成立则必须a2＋4a≥0成立∴a≤－4或a≥05.提示：利用两点间距离公式处理y＝表示动点P(x，0)到两定点A(－2，－1)和B(2，2)的距离之和当且仅当P、A、B三点共线时取的最小值，为

17、AB

18、＝56.解法一：设F(x)＝f(x)－x＝ax2＋(b－1)x＋c，＝a(x－x1)(x－x2)∴f(x)＝a(x－x1)(x－x2)＋x作差：f(t)－x1＝a(t－x1)(t－x

19、2)＋t－x1＝(t－x1)[a(t－x2)＋1]＝a(t－x1)(t－x2＋)又t－x2＋＜t－(x2－x1)－x1＝t－x1＜0∴f(t)－x1＞0∴f(t)＞x1解法二：同解法一得f(x)＝a(x－x1)(x－x2-5-用心爱心专心)＋x令g(x)＝a(x－x2)∵a＞0，g(x)是增函数，且t＜x1Þg(t)＜g(x1)＝a(x1－x2)＜－1另一方面：f(t)＝g(t)(t－x1)＋t∴＝a(t－x2)＝g(t)＜－1∴f(t)－t＞x1－t∴f(t)＞x17.

20、xy－f(x)－g(y)

21、≥证明：(正面下手不容易，

22、可用反证法)若对任意的实数x，y，都有

23、xy－f(x)－g(y)

24、＜记

25、S(x，y)

26、＝

27、xy－f(x)－g(y)

28、则

29、S(0，0)

30、＜，

31、S(0，1)

32、＜，

33、S(1，0)

34、＜，

35、S(1，1)

36、＜而S(0，0)＝－f(0)－g(0)S(0，1)＝－f(0)－g(1)S(1，0)＝－f(1)－g(0)S(1，1)＝1－f(1)－g(1)∴

37、S(0，0)

38、＋

39、S(0，1)

40、＋

41、S(1，0)

42、＋

43、S(1，1)

44、≥

45、S(0，0)－S(0，1)－S(1，0)＋S(1，1)

46、＝1矛盾！故原命题得证！8.解：(本题为1914年匈牙利竞赛试

47、题)f⑴＝a＋b＋cf(－1)＝a－b＋cf(0)＝c∴a＝[f⑴＋f(－1)－2f(0)]b＝[f⑴－f(－1)]c＝f(0)

48、2ax＋b

49、＝

50、[f⑴＋f(－1)－2f(0)]x＋[f⑴－f(－1)]

51、＝

52、(x＋)f⑴＋(x－)f(－1)－2xf(0)

53、≤

54、x＋

55、

56、f⑴

57、＋

58、x－

59、

60、f(－1)

61、＋2

62、x

63、

64、f(0)

65、≤

66、x＋

67、＋

68、x－

69、＋2

70、x

71、接下来按x分别在区间[－1，－]，(－，0)，[0，)，[，1]讨论即可-5-用心爱心专心1.证明：⑴

72、f(x1)－f(x2)

73、＝

74、x13－x1＋x23－x2

75、＝

76、x1－x2

77、

78、x

79、12＋x1x2＋x22－1

80、需证明

81、x12＋x1x2＋x22－1

82、＜2………………①x12＋x1x2＋x22＝(x1＋≥0∴－1＜x12＋x1x2＋x22－1＜1＋1＋1－1＝2∴①式成立于是原不等式成立⑵不妨设x2＞x1由⑴

83、f(x1)－f(x2)

84、＜2

85、x1－x2

86、①若x2－x1∈(0