高中数学竞赛讲义-函数的基本性质 新人教A版

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1、§4函数的基本性质函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.I．函数的定义设A，B都是非空的数集，f是从A到B的一个对应法则.那么，从A到B的映射f：A→B就叫做从A到B的函数.记做y=f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合，A叫做函数f(x)的定义域，象的集合C叫做函数的值域，显然CB.II．函数的性质（1）奇偶性设函数f(x)的定

2、义域为D，且D是关于原点对称的数集.若对任意的x∈D，都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x∈D，都有f(－x)=f(x),则称f(x)是偶函数.（2）函数的增减性设函数f(x)在区间D′上满足：对任意x1,x2∈D′，并且x1f(x2)),则称f(x)在区间D′上的增函数（减函数），区间D′称为f(x)的一个单调增（减）区间.III．函数的周期性对于函数f(x),如果存在一个不为零的正数T，使得当x取定义域中的每个数时

3、，f(x+T)=f(x)总成立，那么称f(x)是周期函数，T称做这个周期函数的周期.如果函数f(x)的所有周期中存在最小值T0，称T0为周期函数f(x)的最小值正周期.例题讲解1．已知f(x)＝8＋2x－x2，如果g(x)＝f(2－x2)，那么g(x)()A.在区间(－2，0)上单调递增B.在(0，2)上单调递增C.在(－1，0)上单调递增D.在(0，1)上单调递增2．设f(x)是R上的奇函数，且f(x＋3)＝－f(x)，当0≤x≤时，f(x)＝x，则f(2003)＝()A.－1B.0C.1D.

4、20033．定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x都有f(x＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为()A.150B.C.152D.4．实数x，y满足x2＝2xsin(xy)－1，则x1998＋6sin5y＝______________.5．已知x＝是方程x4＋bx2＋c＝0的根，b，c为整数，则b＋c＝__________.6．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有两个实数根，求证：a＞4

5、.7．已知f(x)＝x2＋ax＋b(－1≤x≤1)，若

6、f(x)

7、的最大值为M，求证：M≥.8．⑴解方程:(x＋8)2001＋x2001＋2x＋8＝0⑵解方程：9．设f(x)＝x4＋ax3＋bx2＋cx＋d，f⑴＝1，f⑵＝2，f⑶＝3，求[f⑷＋f(0)]的值.10．设f(x)＝x4－4x3＋x2－5x＋2，当x∈R时，求证：

8、f(x)

9、≥例题答案：1．提示：可用图像，但是用特殊值较好一些.选C2．解：f(x＋6)＝f(x＋3＋3)＝－f(x＋3)＝f(x)∴f(x)的周期为6f(2003)＝

10、f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1选A3．提示：由已知，函数f(x)的图象有对称轴x＝于是这101个根的分布也关于该对称轴对称.即有一个根就是，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x＝对称利用中点坐标公式，这100个根的和等于×100＝150所有101个根的和为×101＝.选B4．解：如果x、y不是某些特殊值，则本题无法(快速)求解注意到其形式类似于一元二次方程，可以采用配方法(x－sin(xy))2＋cos2(xy)＝0∴x＝sin(xy)且cos(xy)＝0∴x＝sin(

11、xy)＝±1∴siny＝1xsin(xy)＝1原式＝75．解：(逆向思考：什么样的方程有这样的根？)由已知变形得x－∴x2－2x＋19＝99即x2－80＝2x再平方得x4－160x2＋6400＝76x2即x4－236x2＋6400＝0∴b＝－236，c＝6400b＋c＝61646．证法一：由已知条件可得△＝b2－4ac≥0①f⑴＝a＋b＋c＞1②f(0)＝c＞1③0＜－＜1④b2≥4acb＞1－a－cc＞1b＜0(∵a＞0)于是－b≥2所以a＋c－1＞－b≥2∴()2＞1∴＞1于是＋1＞2∴a＞

12、4证法二：设f(x)的两个根为x1，x2，则f(x)＝a(x－x1)(x－x2)f⑴＝a(1－x1)(1－x2)＞1f(0)＝ax1x2＞1由基本不等式x1(1－x1)x2(1－x2)≤[(x1＋(1－x1)＋x2＋(1－x2))]4＝()2∴≥a2x1(1－x1)x2(1－x2)＞1∴a2＞16∴a＞47．解：M＝

13、f(x)

14、max＝max{

15、f⑴

16、，

17、f(－1)

18、，

19、f(－)

20、}⑴若

21、－

22、≥1(对称轴不在定义域内部)则M＝max{

23、f⑴

24、，

25、f(－1)

26、}而f⑴＝1＋a＋bf(－1)＝1－a