高中数学竞赛讲义(4)几个初等函数的性质.doc

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1、高中数学竞赛讲义（四）──几个初等函数的性质一、基础知识1．指数函数及其性质：形如y=ax(a>0,a1)的函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为（0，+∞），当01时，y=ax为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。2．分数指数幂：。3．对数函数及其性质：形如y=logax(a>0,a1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），值域为R，图象过定点（1，0）。当01时，y=logax为增函数。4．对数的性质（M>0,N>0）；1）ax=Mx=logaM(a>0,a1)；2）loga(MN)=loga

2、M+logaN；3）loga（）=logaM-logaN；4）logaMn=nlogaM；，5）loga=logaM；6）alogaM=M;7)logab=(a,b,c>0,a,c1).5.函数y=x+（a>0）的单调递增区间是和，单调递减区间为和。（请读者自己用定义证明）6．连续函数的性质：若a0.【证明】设f(x)=(b+c)x+bc+1(x∈(-1,1))，则f(

3、x)是关于x的一次函数。所以要证原不等式成立，只需证f(-1)>0且f(1)>0（因为-10，9f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0，所以f(a)>0，即ab+bc+ca+1>0.例2 （柯西不等式）若a1,a2,…,an是不全为0的实数，b1,b2,…,bn∈R，则（）·（）≥()2，等号当且仅当存在R，使ai=,i=1,2,…,n时成立。【证明】 令f(x)=（）x2-2()x+=,因为>0，且对任意x∈R,f(x)≥0，所以△=4()-4（）()≤0.展开得（）()≥()2。等号成立等价于

4、f(x)=0有实根，即存在，使ai=,i=1,2,…,n。例3 设x,y∈R+,x+y=c,c为常数且c∈(0,2]，求u=的最小值。【解】u==xy+≥xy++2·=xy++2.令xy=t，则0

5、=16t，所以9t+12t=16t，即1+记x=，则1+x=x2，解得又>0，所以=例5 对于正整数a,b,c(a≤b≤c)和实数x,y,z,w，若ax=by=cz=70w，且，求证：a+b=c.【证明】 由ax=by=cz=70w取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.所以lga=lg70,lgb=lg70,lgc=lg70，相加得(lga+lgb+lgc)=lg70，由题设，所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70.所以abc=70=2×5×7.若a=1，则因为xlga=wlg70，所以w=0与题设矛盾，所以a>1.又a≤b≤c，且a,b,c为7

6、0的正约数，所以只有a=2,b=5,c=7.所以a+b=c.例6 已知x1,ac1,a1,c1.且logax+logcx=2logbx，求证c2=(ac)logab.【证明】 由题设logax+logcx=2logbx，化为以a为底的对数，得，因为ac>0,ac1，所以logab=logacc2，所以c2=(ac)logab.注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。3．指数与对数方程的解法。9解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。例7 解方程：3x+4x+5x=6x.【解】 方程可化为=1。设f

7、(x)=,则f(x)在(-∞,+∞)上是减函数，因为f(3)=1，所以方程只有一个解x=3.例8 解方程组：（其中x,y∈R+）.【解】 两边取对数，则原方程组可化为 ①②把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx，所以[(x+y)2-36]lgx=0.由lgx=0得x=1，由(x+y)2-36=0(x,y∈R+)得x+y=6，代入①得lgx=2lgy，即x=y2，所以y2+y-6=0.又y>0，所以y=2,x=4.所以方程组的解为.例9 已知