数学教学的“起承转合”——以《函数的概念》一课的设计为例-论文.pdf

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1、《现代基础教育研究》第18卷，2015年6月(ResearchofModernBasicEducation)数学教学的“起承转合’’——以《函数的概念》一课的设计为例施雯(上海市第三女子中学，上海200050)摘要：文章从“起、承、转、合”四个步骤叙述了《函数的概念》这节公开比赛观摩课的前期学习、备课、试讲、磨课和最后的回顾、反思。这节课的打磨，促使教师思考该如何全面地发展起数学的教学内容知识：不仅有学科知识，还有对学生学情的认识、课堂教学的艺术等。关键词：函数的概念；数学教学内容知识；实践2014年底，笔者有幸参加了全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动。当时上海市级比赛的指定课题是《函数

2、的概念》。经过半个月的预备与调整，这节课受到了评委和学生们的认可，而通过博观、约取、交融、自省，笔者得以进一步完善数学教学方法。在这里分享笔者的教学设计过程与反思，希望得到大家的批评指正。一、“起”——三个方面的预备工作1．理解函数及其相关知识上教版高一数学《函数的概念》的教学，笔者的第一个预备工作就是大量阅读各版本数学教材，查阅期刊与图书，争取从一个较高的视角理解“函数”。通过近乎地毯式的查阅学习，笔者对以下知识与内容有了比较清晰的理解：·映射与函数的关系；·几个函数的概念：变量说、对应说、映射说、关系说等；·f(x)的函数记号意义与函数值意义；·函数表示方法的多种多样；·高等数学中的广义函

3、数概念。一开始，这些知识在笔者的头脑中是零碎的，但之后得到系统整理，所有的设计都以此为坚石，建筑其上。2．梳理函数概念的历史发展从数学史的角度切人，纵向梳理数学概念常能给教学带来启发。所以，笔者也仔细查阅了函数概念的发展历史。历史上正是先有函数概念的“变量说”，后抽象出“对应说”，再进一步得出“关系说”。这和上教版教材的安排一致：八年级时学生接触了“变量说”函数概念，高一年级再学习“对应说”。概念的深作者简介：施雯，浙江绍兴人，上海市第三女子中学一级教师，主要从事高中数学教学研究。166第18卷《现代基础教育研究》(ResearchofModernBasicEducation)2015年6月可

4、以用图1来描述。这个图中的两个变量：时间32与手机流量余额Y是“函数关系”吗?为什么?实例3：麦当劳点餐(见图2)一位外国人走进麦当劳餐厅，他想买一个汉堡包，可他看不懂中文菜单，想一想他该怎样来点餐呢?如果他指出所选择汉堡包的编号，那么营业员就能奉上他想要的汉堡包，他所需支付的价格也被唯一确定了。这里有两个变量：编号和价格，它们也是函数关系吗?思考一个合理的表示方法使编号与价格的关系一目了然。这三个实例从外在形式上恰恰运用了本节课要介绍的三种表示方法：解析法、图像法与列表法。从内在价值上说，第一个实例“自由落体实验”是学生在初中就已经学过的最经典的物理实验，以此为例简单明了地点出本节课的主题是

5、“函数”，温习了初中的函数概念。自由落体运动中时间变量有意义的范围而需特别留意，借这个易错点又让学生关注了定义域，并对函数三要素建立了整体的观点。第二个实例“手机流量余额走势图”和当代高中生的生活息息相关，可以让学生发现生活中的函数现象比比皆是。而这个难以用解析式来拟合的函数图像，排除掉“解析式”这一表示方法的干扰，也向学生们展示了“对应关系”的本质。第三个实例“麦当劳点单问题”的意义不仅在于介绍了列表法，抛开解析式突出对应法则，更在于通过对换自变量与因变量，提出“编号是否是价格的函数”这一问题，由反例的辨析使学生明确函数的对应必须是“单值对应”。三个实例从熟悉的情境中提炼函数，从多角度呈现函

6、数，从正反两方面辨析概念，从低到高层层抽象，很好地帮助学生理解概念。书本上的例题，如“出租车定价问题”是一个分段函数，起点较高；而110栏世界纪录问题的定义域不是实数集合，为符合学生的最近发展区笔者做了相应的替换。但笔者所选择的实例也有不足之处：“麦当劳点单问题”中编号的集合是不是实数集呢?自然数有基数与序数两种意义，而编号取其序数意义。但从康托尔对实数的严格定义上来说，编号的集合中元素间的加法与乘法是无意义的，说这个集合满足实数集的四组公理略显牵强。但由于它在教学中的应用价值，对这一争议也就暂且存而不论。三、“转”——设计实践的一波三折为能更好地将“函数”这一数学核心概念传递给学生，笔者不断

7、修改教学设计和实践。但设计的框架是基本不变的。所设计的四个环节：“概念的温习”、“概念的深化”、“概念的抽象”、“概念的应用”，从学生初中已学的知识人手，层层深化、层层抽象，从“变量一依赖关系”上升到“集合一对应关系”的函数概念。·概念的温习：通过实例1“自由落体实验”温习初中的函数概念，指出“变量说”中需要精细化的部分，明确本节课的目标是再次学习“函数”这一概念。·概念的深化：通过三个实例帮助学