数学核心概念的教学以异面直线为例

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1、数学核心概念的教学：以异面直线为例杭州师范大学理学院：巩子坤Email：zkgong@163.com电话：137571050171目录一、引言：概念学习二、设计：案例研究三、结果：教学分析四、结论与讨论2一、引言：概念学习（一）概念的分类概念是对一类事物在数量关系和空间形式方面的本质属性的简明、概括的反映。按照加涅的分类方法,数学概念可以分成具体概念和定义性概念。1.具体概念。具体概念指一类事物的共同本质特征，这些特征可以直接通过观察获得。获得具体概念就意味着能识别事物的“类别”。比如，通过对几个三

2、角形的观察，获得“三角形有三条边，三个角，三个顶点”。3一、引言：概念学习具体概念是一个很辨证的概念，说其具体，是因为这些概念与我们的日常生活很相近，很直观，似乎不言自明。大家都可以使用这个概念进行交流，也不会产生什么语义上的问题。但是，真的要把这个概念说得清清楚楚，就有困难了。比如，Fredenthal常常说到的椅子概念，用起来没有什么问题，但是，仔细想想，能够定义清楚吗？同时，有必要定义清楚吗？另外，具体概念还有相对性，比如，有些概念对某些人而言，已经达到了“直觉、自觉”的程度，因而，对他们而言

3、，这些概念是具体概念。而对不太熟悉它的人而言，就不是了。比如，相对于群环域而言，整数、有理数是直观概念，群环域是抽象概念；而相对于范畴而言，群环域又是具体概念了。正如哲学中常常说的抽象的具体一样。4一、引言：概念学习2.定义性概念。定义性概念指一类事物的共同本质特征，这些特征不能通过直接观察获得，必须通过下定义来揭示。定义性概念是对属性及属性间关系的言语陈述。比如，三角形的定义是“由三条线段首尾相接构成的封闭的平面图形。”学生可能只是重复言语词句而不知道概念的含义。正因为如此，我们使用“给出XX概念

4、的一个例子”，而不是“陈述XX的定义”之类的任务，来考察学生是否习得了这个概念。在加涅看来，定义性概念是一种特殊的规则，其目的是将事物进行分类，它是分类的规则。需要特别说明的是，加涅特别重视智慧技能的学习，因为“学校中的数学内容实际上都是智慧技能”5一、引言：概念学习理论上说来，数学概念大都应该是定义性概念，因为这样的概念才是规范的、科学的。即便是可以通过观察获得事物的关键特征，这些特征也必须用明确的语言表示出来。比如，中学里，大多数概念是定义性概念。但是，由于学生的认知发展水平有限，由于在学习当下

5、概念时，知识的限制，有些时候，也没有必要严格地定义，只需要感受一下，能够辨别正例、反例即可。所以，具体概念是大量存在的，在小学，大量的概念是具体性概念；在中学，诸如无理数、平行、异面直线，均是具体概念。6（二）概念学习的过程1.概念的形成概念形成的过程是辨别、抽象出一类事物的本质属性的过程。在其基本过程如下一、引言：概念学习7①辨别各种刺激模式。这些刺激模式可以是学生自己在日常生活中的经验或事实，也可以是由教师提供的有代表性的典型事例。但不管是哪种刺激模式，都必须通过比较，在知觉水平上进行分析、辨认

6、，根据事物的外部特征进行概括。例如，形成长方形概念，先让学生辨认他们所熟悉的实例，像桌面、墙壁、黑板、书本表面等。②分化出各种刺激模式的属性。为了理解该类刺激模式的本质属性，就需要对各种刺激模式的各个属性予以分化。例如，桌面是木制的，可看成是四边形，两组对边分别平行并且相等，四个角相等，等。墙壁、黑板、书本表面等也有各自的属性。一、引言：概念学习8③概括出各个刺激模式的共同属性，并提出它们共同属性的种种假设。上例中，共同属性有：可抽象地看成平面四边形；四个角相等；两组对边分别平行并且相等；等。共同的

7、关键属性可假设为：(a)两组对边分别平行并且四个角都是直角的四边形是长方形；(b)两组对边分别相等并且四个角都是直角的四边形是长方形；(c)四个角都是直角的平面四边形是长方形；等。提出关键属性假设的方法是把一条或几条共同属性结合起来。④检验假设，确认关键属性。在检验过程中，采用变式是一种有效手段。如上例中，通过变式可以发现，三个假设在各种变式中均出现，因而都可确认为关键属性。一、引言：概念学习9⑤概括，形成概念。验证了假设以后，把关键属性抽象出来，并区分出有从属关系的关键属性，使新概念与认知结构中的

8、已有的有关观念分化，用语言概括成为概念的定义。上例中，(a)、(b)中的“四个角都是直角”与“有一个角是直角”具有从属关系，而四边形只要有“两组对边分别平行”及“一个角为直角”，那么就能推出“两组对边分别相等”和“四个角都是直角”，因此只要取前两个关键属性即可，于是将长方形定义为“两组对边分别平行并且有一个角为直角的四边形”。一、引言：概念学习10一、引言：概念学习⑥用习惯的形式符号表示新概念。通过概念形成的上述步骤，学生比较全面地掌握了概念的内涵，而且还掌握了许多概