扰动广义方程的牛顿算法及其收敛性分析-论文.pdf

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1、第31卷哈尔滨师范大学自然科学学报Vo1．31。No．32015第3期NATURALSCIENCESJOURNALOFHARBINNORMALUNIVERSITY扰动广义方程的牛顿算法及其收敛性分析木李鑫荣，陈莹莹(哈尔滨师范大学)【摘要】讨论了在集值映射满足强度量正则性时广义方程的隐函数定理，以及此条件下广义方程牛顿算法的收敛性．【关键词】广义方程；强度量正则；隐函数定理；不动点定理中图分类号：0177．91文献标识码：A文章编号：1000—5617(2015)03—0008—040引言1预备知识1979年Robinson在研究优化问题的最优性假设，y为Banach

2、空间，Q：—y为集值映条件时提出了广义方程的概念，与广义方程相关射，Q的图为的算法及其收敛性是主要的研究内容．文献[1]gphQ={(，y)∈X×YIY∈Q()}首先给出了的广义方程记Q～：l，是Q的逆映射，图表示为gphQ～=0∈厂()+Q()(1){(y，)∈YXXI(，y)∈gphQ}．集合C，D是其中，y为Banach空间：—y是单值映射，中两非空子集，用(，C)=infJj一YII，Q：—y是闭集值映射，在+Q满足度量正则e(c，D)=supd(，D)分别表示点到集合的距离时的牛顿迭代步：及两个集合间的距离．0∈f()+D()(+1一)+0(x+1)该文考虑

3、在扰动广义方程(3)中，假设．厂是(2)关于连续Fr~chet可微的，其Fr~chet导数记为产生序列{}收敛到(1)的解；文献[2]给出D工厂(P，)；f(P，)和D(P，)关于变量(p，)了扰动广义方程连续，其解映射是S(p)：={f0∈f(p，)+0∈f(，p)+Q()(3)Q(戈)}．其中P∈P为参数空间，在G()：=f(，)+定义1令(p，)∈int(domf)，若存在PD(P，)(一)+Q()满足强度量正则时的的邻域和元的邻域U及常数叼，-q>0，有牛顿迭代步：lf(P，)一f(P，)ll≤叼lP—Pll+0∈f(P，)+D(P，)(+1一)+叩II一II

4、，Vp，P∈，V，∈Q()(4)成立，则在(，面)点是Lipschitz连续的，其中产生唯一序列{}收敛到(3)的解；此外，若假仇：=lip((P，面))和叩：=lip((P，))分设D的Lipschitz性，则上述算法产生的{}为别是关于P和的Lipsehitz常数．二阶收敛．该文主要研究集值映射Q满足强度量定义2令Q：l，是非空集合DcdomQ正则性时，扰动广义方程牛顿算法的收敛性．上闭的集值映射．若存在，c>0，使得对任意Y，Y∈D有e(Q(Y)，Q(y))≤，cllY—Yll，则称Q收稿日期：2014—11一l6黑龙江省教育厅项目资助(12521147)第3期

5、扰动广义方程的牛顿算法及其收敛性分析9在集合D上是Lipschitz连续的．若上述性质在面+rl+)(5)的邻域D内成立，则称集值映射Q在点是Lipschitz连续的，也称Aubin性质．任取P，P∈(p)，P≠P．定义空间上的集值定义3若存在面的邻域和Y的邻域及映射(W)：=Q(一f(P，))．任取∈常数，c>0，使得：B()，令=i__Ilp—p，l1．对任意∈d(，Q一(Y))≤Kd(Y，Q())V∈U，Y∈V则称集值映射Q：—y在点(，Y)∈gphQ是度日()，由(5)得，量正则的，，c：=reg(Q；(元，y))为度量正则系l_W一面【l≤llW—ll+ll

6、一面lI≤+数．若Q(Y)nU为单值映射，则称集值映射Q：卢≤+卢≤—y在点(，)∈gphQ为强度量正则的．事实上，集值映射Q：—y在(，Y)强度量即∈B(元)，并且由，在(P，)点的Lipschitz正则等价于Q一：】，一在(，面)是Lipschitz连续性质得且p在元点的局部化映射为单值的，即Il一，(p，W)一yII≤IP一PII+or(Y)=Q一(Y)nU在上单值．其中reg(Q：【l一面II≤叼卢++卢叼<．(面，Y))=lip(Q～，)．即对任意ft．B()，有一厂(P，)EB()．引理1．1(不动点定理)若：—是定由Q的度量正则性得义在完备度量空间上的集

7、值映射，当面∈，存在>0，A∈[0，1)使得：d(，())=a(x，Q一(一f(P，)))≤Kd(一f(P，)，Q(X))≤Klj／(P，)一f(P，(1)d(()，)≤(1一A)(2)e(45()，())≤AII一IIV，)ll≤K'OIlP—P1l=y(1一Krl)对任意的u，∈B()，有e(cI)(II,)nB()，∈B(元)则存在唯一的∈B()满足：()，())≤，cjIf(p，“)一f(p，)【l≤KrlIl一即在B()中有唯一的不动点．lI．由不动点引理1．1得，存在∈()n2主要结论()，使得定理2．1(隐函数定理)钳：PX—y在∈5(