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时间：2018-08-07
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1、§2广义积分的收敛性主要知识点：广义积分及其敛散性概念；非负函数广义积分收敛性的比较判别法、柯西判别法；一般函数广义积分收敛性的Abel、Dilichlet判别法；广义积分与级数的关系。1、讨论积分的敛散性。解：。2、证明积分收敛。，。3、证明积分收敛。解：注意到，由于4、讨论积分的敛散性。解：⑴－12、知1－与同阶。于是仅当时收敛，仅当时收敛，故原积分不收敛。⑶。f(x)的可能瑕点为，。。在点处将展开成Taylor公式：，于是与同阶。因此，当且仅当时收敛；又仅当时，收敛，所以当且仅当时原积分收敛。1、设同敛散。证：⑴设，由Dilichlet判别法知右边第二个积分收敛，因此同敛散。⑵、，当时。取，由Cauchy准则，也发散。2、设的敛散性。解：当时，由比较判别法即知积分收敛。当时，发散，由上题知发散，再由比较法知原积分发散。1、讨论的敛散性。解：利用Taylor公式：,=，故当时，因此原积分收敛。2、讨论积分的敛散性。解：记。。考察：注意到① 绝3、对收敛。②由Dilichlet判别法知收敛，并且是条件收敛。③，可知发散。综上得到：原积分当条件收敛；时发散。3、研究解：只须证明上述积分在上内闭一致收敛。，，由此即知积分在上内闭一致收敛，从而1、设：。证明：因。对任意，以为步长等分得==。令，于是有+即，因此命题成立。
2、知1－与同阶。于是仅当时收敛，仅当时收敛，故原积分不收敛。⑶。f(x)的可能瑕点为，。。在点处将展开成Taylor公式：，于是与同阶。因此，当且仅当时收敛；又仅当时，收敛，所以当且仅当时原积分收敛。1、设同敛散。证：⑴设，由Dilichlet判别法知右边第二个积分收敛，因此同敛散。⑵、，当时。取，由Cauchy准则，也发散。2、设的敛散性。解：当时，由比较判别法即知积分收敛。当时，发散，由上题知发散，再由比较法知原积分发散。1、讨论的敛散性。解：利用Taylor公式：,=，故当时，因此原积分收敛。2、讨论积分的敛散性。解：记。。考察：注意到① 绝
3、对收敛。②由Dilichlet判别法知收敛，并且是条件收敛。③，可知发散。综上得到：原积分当条件收敛；时发散。3、研究解：只须证明上述积分在上内闭一致收敛。，，由此即知积分在上内闭一致收敛，从而1、设：。证明：因。对任意，以为步长等分得==。令，于是有+即，因此命题成立。
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