几个三角恒等式以及 Euler 积分的计算-论文.pdf

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1、第24卷第2期河南教育学院学报(自然科学版)Vo1．24No．22015年6月JournalofHenanInstituteofEducation(NaturalScienceEdition)Jun．2015doi：10．3969／j．issn．1007—0834．2015．02．001几个三角恒等式以及Euler积分的计算张宏波，封平华(河南教育学院数学与统计学院，河南郑州450046)摘要：证明了几个三角恒等式，并利用这些·巨等式给出了求Euler积分rlnsind，2lnc0d积分值的一J0J0种新方法．关键词：Euler

2、积分；积分和；三角恒等式中图分类号：O157．5文献标识码：A文章编号：1007—0834(2015)02—0001—030引言本文首先给出几个三角恒等式，再以这些恒等式为基础，给出Euler积分nsin=lnc。s础=一7rln2(I)求值的一种新方法．这两个积分都是广义积分，因其被积函数分别在0或q'r无界．关于这两个积分收敛性的证明以及其他计算方法可以参见文献[1]和文献[2]．本文以下各节内容安排如下，第1节给出了本文所需的几个三角恒等式，第2节用积分和方法同时计算出了两个Euler积分的值．1几个三角恒等式首先给出一个

3、新的正弦函数倍角公式，与我们熟知的倍角公式(由和的形式构成)sinn=nc。sn-Isin一()c。s一sin3+()c。s一5sin5一⋯不同，新的公式是由乘积的形式构成的．引理1对任意的n=1，2，⋯，∈R，以下三角公式成立：si～一2O-~sin嬲in+詈)⋯sin(+)．(2)证明参见文献[4]，另外，从引理1出发，可以得到下述一系列三角恒等式．定理1对任意的n=1，2，⋯，有S11詈—n—s1n_n．-·s1n————n—一=—7_一，．(，、3)、其中空乘积定义为1，即当n：1时，上述乘积的值规定为1．证明在(2)两

4、边同时除以．17，令一0并由sin～即可得结论．定理2对任意的n=1，2，⋯，有sin“sin“⋯n“—=n-1，(4)收稿日期：2015—01～24基金项目：河南省高等学校青年骨干教师资助项目(2014GGJS一136)；河南教育学院应用数学重点学科资助项目作者简介：张宏波(1976一)，男，陕西西安人，河南教育学院数学与统计学院副教授，理学博士、博士后，主要研究方向：随机模型、排队论．2河南教育学院学报(自然科学版)2,rf∞。。∞。⋯。∞。—：，(【5)’其中空乘积定义为1．证明首先，对任意的k=1，2，⋯，一1，由．1r

5、．k,rrklrsin——zsin—COS一，nnZn以及(3)式可得(n一1)1T2n(6)其次，再由三角函数的诱导公式知，对任意的k=I，2，⋯，n一1，有⋯：sn(,f—k2,tr)=sin，所以显然有．叮r．21T．(n一1)ql"21T(n一1)订““⋯“—∞∞⋯∞，再由(6)式即可得定理2的结论．2Euler积分的计算以下由给出的三角公式出发，利用积分和的方法计算Euler积分的值．Euler积分是分析中一种重要的积分，其他一些常见的积分，如兰等都可以化为Euler积分(只相差一个正负号)．现在，为了计算该积分，还需

6、下述引理，其证明可以参见文献[2]．引理2假设函数)在区间[0，a](这里设a>0)恒正且单调减少(增加)，而且当一0(—a)时，有)一∞．如果反常积分JI=)存在，则有JI=，()=詈n)(=詈n-I譬))．现在计算两个Euler积分的值，即证明(1)式．首先在(4)式两边同时取自然对数，可得hsin=ln一(一1)ln2，显然，再由sin号=1，有毫in=竹【一】．㈩在(7)式两边令n一∞，由引理2即可得d=订【一】=一号．同理由(5)式出发可以得(1)式中第二个积分的值．注记(1)式中的两个积分也可以由(6)式得到，事实上

7、，在(6)式两边同时取自然对数，并利用sin“=ceos。0=1，可得熹·nsn+n-Inc。s=竹I⋯nn一】，第2期张宏波等：几个三角恒等式以及Euler积分的计算3其中，令，t一∞，由引理2可得』：lnsnd+Jr：lnc。sd=一百ln2．最后，作变量代换=￡一号，容易验证nsi=lnc⋯所以亦可得(1)式．参考文献[1]华罗庚．高等数学引论：第一册[M]．北京：高等教育出版社，2009．[2]菲赫金哥尔茨FM．微积分学教程：第二卷[M]．徐献瑜，译．郭思旭，校．北京：高等教育出版社，2009[3]<现代数学手册>编纂委

8、员会．现代数学手册：经典数学卷[M]．武汉：华中科技大学出版社，2000．[4]张宏波，王美娟．一个三角公式及其应用[J]．数学的实践与认识，2008，38(17)：214—216．SomeTrigonometricIdentitiesandtheCalcula