几个恒等式及其组合方法的证明-论文.pdf

《几个恒等式及其组合方法的证明-论文.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第46卷第2期东北师大学报(自然科学版)Vo1．46NO．22O14年6月JournalofNortheastNormalUniversity(NaturalScienceEdition)June2014[文章编号]1ooo一1832(2014)02—0040—05doi：10．11672／dbsdzk2O14—02—009几个恒等式及其组合方法的证明周恩，霍元极(1．海南软件职业技术学院基础部，海南琼海571400；2．河北北方学院数学系，河北张家口075000)[摘要]设F是q个元素的有限域，其中q是素数的幂，F是F上维向量空间，用1lLmJq表示Gaussian系数，它

2、可看做F：的维子空间的个数．运用组合方法证明了几个已知的Gaussian系数恒等式，并给出几个新的Gaussian系数恒等式和它的组合方法证明．[关键词]恒等式；组合方法；Gaussian系数；有限域；子空间[中图分类号]O153[学科代码]110·21[文献标志码]A1预备知识设F是q个元素的有限域，其中q是素数的幂，并且是F上的”维行向量空间，在文献[1]中，Gaussian系数用ll表示，它可看做F；的维子空问的个数．文献[1]给出一些Gaussian系数恒等LJ。式，在这里多采用代数方法来证明．本文对其中的一些恒等式给出了组合方法证明，并且给出几个新的Gaussian

3、系数恒等式，同样采用组合方法给出它们的证明．在证明中也用到文献[2—3]中的一些方法．本文未介绍的名词和术语见文献[1，4—5]，并且引用文献[1，6]中的一些结果．定义设是非负整数，q≠1为复数，而是未定元，令r]一(1一g)(1一矿一)⋯(1一矿‘一)L(1一q)(1一q)⋯(1一口)‘我们把II叫做Gaussian系数．LJ命题1设和都是非负整数，q是素数的幂，那n中维子空间的个数恰是l1．LJu2主要结果命题2_4设O≤≤，那么Ⅱ(q一1)一r卜1—LJⅡ(q一1)rl]l一厶q‘命题3E设0≤≤，那么·LmJ。Z0其中系数a是的分拆数(见文献[2])，z的Ferre

4、rs图适合规模m(n—)的方格．[收稿日期]201303—04[基金项目]海南省自然科学基金资助项目(113009)．[作者简介]周恩(1963)，男，教授，主要从事代数组合论研究第2期周恩，等：几，个恒等式及其组合方法的证明41由命题2和命题3，可得下面的结论．定理1设O≤m≤，那么(q一1)∑q-萎●一一2一其中n是z的分拆数，z的Ferrers图适合规模m(一)的方格．m定理2设k，，是非负整数，并且min{m，}≥尼．那么[。一奎q“Ⅲ一+[：][忌]．(2)∑证明设A一m是∑F上秩为k的k×矩阵，那么A合同于阶梯形矩阵：g0n1el，J1+1⋯P1．2—1Oel，J

5、2+1⋯P1，“～10P1．+1⋯e1Hg00001e2，J2+1⋯e2．一10e2，J+1⋯e2nll(3)●●●●●●：：：：：：0ⅡO0OO1，“+1⋯h令M(j，Jz，⋯，J)是矩阵表示为(3)的F：的k维子空间的个数，由阶梯形矩阵表示的唯一性，那么[一∑M(j，Jz，⋯，J)1．因为M(j1，2，⋯，女)I—qh一‘⋯专‘一”，所以[扣H)一g^(1J一计-．(4)由(4)式可得[：一，2]==q(肿+”)一专(一1)∑q(J1+2+⋯+，

6、[L：Z]—o[L忌定一Z]一0：：=io-(Jl’⋯)×(∑q⋯)一q一专卜”斛“h(∑O(∑q州z十一)一rt+l~j+÷(1+⋯+Ji+J+Jj+⋯+In+j)=∑女一=。≤1

7、中的定理2．1，有如下命题．+命题4躲．．设0≤是≤72，那么F。中秩为k的×矩阵的个数是一(曼(1))一Ⅱ(q一1)定理3设0≤忌≤，那么+2⋯⋯q(]．㈤k=OL-1。证明考虑F上×矩阵(a)≤≤的个数．显然，(5)式等号右边是F上矩阵(n)。《的个数q．因为(n)≤≤的个数一n×n矩阵中0矩阵的个数+秩为1的n×矩阵的个数+秩为2的×矩阵的个数+⋯+秩为的x矩阵的个数．由命题4，可得≤的个数一q⋯1-[(一1再由(1)式，有(n)的个数一∑(qn一1)(一1)⋯(q一抖一1)q(：)l：l，女=0