组合恒等式的证明方法-论文.pdf

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1、第30卷第6期兰州教育学院学报2014年6月Vol_30No．6JOURNALOFLANZH0UINSTITUTEOFEDUCATIONJun．2014组合恒等式的证明方法柴学林(兰州职业技术学院，甘肃兰州730070)[摘要]组合恒等式的证明往往具有一定的难度并且灵活性较强，笔者结合具体实例，利用初等数学与高等数学综合交叉的方法给出了多个组合恒等式的证明。[关键词]组合恒等式；辅助函数；微分；复数性质；数学归纳法[中图分类号]O157[文献标志码]A[文章编号]1008-5823(2014)06-0087-02[收稿日期]2014—02—24定一理为坌基础，并加以推广．

2、：和拓展来进行筹的．在证明过f(x‘⋯。：’‘c‘：c。“程中，常常对运算能力和思维灵活性都有较高的要所以有：交叉的方曼法数学与高等数学综合厂，()：(1+n-,[1+(凡+1)x]：∑n(+1)，来证明组合恒等式．。。。‘一、利用辅助函数进行证明我们知道(a+6)的二项展开式中，二项式系数如果令=1，那么由-厂()得：就是组合数C：，那么对一些求组合数之和的组合恒∑(+1)C：：(n+2)·2．等式，就可以利用辅助函数和二项展开式通过比较相三、利用复数性质进行证明同项的系数进行证明．k当组合恒等式有关组合数与三角函数的关系式例1求证∑岬=c：．时，可根据其特点，选择适当

3、的复数，一方面把它的代证明：设II<1，将辅助函数(1一)～，(1一数式用二项式定理展开，另一方面把它的三角函数式)””用马克劳林(C·maclaurin)公式展开：按棣莫佛公式计算，然后利用复数性质，比较复数的实部和虚部，从而得到要证明的组合恒等式．(1一)～=∑，(Ixl<1)；(1一)“P=0例3求证一3c+3c一3c：+⋯==∑+，(Ixl<1)(一1)·in．3把两式的两边相乘就有：证明：把复数(一1+i)“展开得：(1一)。‘=(∑)(∑+)(一1+√)=(一1)+c(一1)(n-1)3寺+P=UP=U∞kc(一1)(n-2)(3丁1)i。+(一1)(n-3)

4、(3寺+⋯=∑∑c：+，(Ixl<1)=(一1)(c：一3C+3c：一3c：+⋯)+(一1)另一方面，函数(1一)’又可以展开为：(+1’(3T1c一3手c：+35c一3}c+⋯)(1一)姐=∑0c，(Ixl<1)另一方面有：k比较上面两式中的系数就得：∑+=+．+．(一1+)n：[2(。+isi)]n二、利用微分的方法进行证明=2(cosin孕)有些组合恒等式，可以先做适当的辅助函数，再利用微分的计算技巧和方法进行证明．由此可得：3÷c一3手丁C：+3手C：一3÷C：+⋯例2求证∑(+1)C：=(n+2)-2．=(一1)(n+1)2s1‘n~nT／"—证明：做辅助函数)

5、：(1+)“，用二项式定理展开得：所以就有：[作者简介]柴学林(1955一)，男，兰州职业技术学院副院长，副教授，主要从事数学教学和高等职业教育研究。88兰州教育学院学报第30卷又根据等式①、②可得：C-3C：+3Ci-3。Cj+．．一(一1)“’z^，j∑c：=2；．2n7r=2吼n丁‘∑=∑=∑n：=n∑：=凡·2，I同时也就证明了下面的恒等式：=U=l=II一3c2o+3一3+．．一(一1)2c0s所以，就有：同样道理，如果把复数(1+i)“按两种方法展开、∑=U(1c+1)C：n(n一1)∑Zc：：+3∑=IjkC计算并比较复数的实部和虚部，就可以证明下面的两+∑

6、C个恒等式．=n(rt一1．2一+3n·2“一+2c,o—c：+c4一+．．一2号c。s=(n+5n+4)·2c一c：+c5一c：+．．一2号sin六、利用组合的意义进行证明四、利用数学归纳法进行证明例6求证∑nC：=·2．k证明：设集合A={Ct，。，⋯Ct，}有n个不同的例4求证∑(一1)=(一1)c一．元素，一方面我们取A的k个元素(k≤n)组成A的证明：当k=0时，原恒等式对于任意自然数n显子集合，这个含有k个元素的子集合的个数为C：，因然成立．现在假设原恒等式对于任意自然数irl,，当k=此，所有这些子集合中元素的个数是c，那么A的m时成立，即：所有子集合的总个

7、数为∑kC；另一方面，我们将集∑(一1)=(一1)c合A的每一个子集合A与它的余子集合EA组成一那么，当k=m+1时，有个集合对，由于集合A的所有子集合的个数是2”，这m+1m∑(一1)c=∑(一1)+(一1)c¨样所有子集合组成的集合对共有_1_×2=2个，二=(一1)Cl+(一1)c：而每一对集合：A，EA中元素个数的和为n，所以集=(一1)(ca“一C1)合A的所有子集合中元素的个数之和是n·2．比=(一1)’c较两种解题思路就证明了∑nC=n‘2．这就证明了当k=m+1时，原恒等式对于任意自然数也成立．所以，对于任意自