【优化指导】2013高考数学总复习 第2章 第13节 定积分与微积分基本定理课件 理 新人教A版.ppt

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1、第十三节　定积分与微积分基本定理(理)1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2．了解微积分基本定理的含义．积分下限积分上限积分区间被积函数xf(x)dx2．一般情况下，定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a、x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(图2中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值、在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．F(b)－F(a)一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？提示：一个函数的导数是唯一的，而其原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在

2、利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算．答案：C答案：B答案：D答案：－2特别警示：定义中区间[a，b]的分法和ξi的取法都是任意的．2．利用微积分基本定理求定积分的步骤：(1)把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；(2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差；(3)分别用求导公式找到F(x)，使得F′(x)＝f(x)；(4)利用牛顿——莱布尼兹公式求出各个定积分的值；(5)计算所求定积分的值．特别警示：求函数f(x)在某个区间上的定积分，

3、关键是求函数f(x)的一个原函数，正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系；若原函数不易寻找时，先把f(x)进行变形．求下列定积分：1.求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤(1)画出图形；(2)确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分的上、下限；(3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；(4)写出平面图形面积的定积分的表达式；(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．(2)由三条直线x＝a，x＝b(a＜b)、x轴，一条曲线y＝f(x)[f(x)≤0]围成的曲边梯形的面积(如图2)：求曲线y＝x2，直线y

4、＝x，y＝3x围成的图形的面积．【思路点拨】解：从题图上可以看出物体在0≤t≤1时做加速运动，1≤t≤3时做匀速运动，3≤t≤6时也做加速运动，但加速度不同，也就是说0≤t≤6时，v(t)为一个分段函数，故应分三段求积分才能求出曲边梯形的面积．1.由函数图象或解析几何中曲线围成的曲边图形面积的计算及应用，一般地转化为定积分的计算及应用，但一定要找准积分上限、下限及被积函数，且当图形的边界不同时，要分不同情况讨论来解决．2．对于定积分与函数、方程、不等式等问题的综合题，求解时，除用好定积分的知识外，还要适时地用好涉及到的知识及处理相关问题的规律方法．(1

5、2分)如图所示，已知曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝－x2＋2ax(a＞1)交于点O、A，直线x＝t(0＜t≤1)与曲线C1、C2分别相交于点D、B，连接OD、DA、AB.(1)写出曲边四边形ABOD(阴影部分)的面积S与t的函数关系式S＝f(t)；(2)求函数S＝f(t)在区间(0,1]上的最大值．【思路点拨】(1)曲边四边形分为△ABD和曲边三角形ODB，求出A、B、D三点的坐标，可求面积．(2)可利用导数求最大值．【活学活用】3.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，直线：l1：y＝－t2＋8t(其中0≤t≤2，t为常数)；l2：x＝2.若直

6、线l1、l2与函数f(x)的图象以及l1、y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如图阴影所示．(1)求a，b，c的值；(2)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式．错源：定积分几何意义不明致误【纠错】使用定积分表示曲边形面积时，弄错被积函数或者积分上下限，不能结合图形选择合适的积分变量．【正解】画出草图，如图所示．根据定积分的几何意义把曲边形ABC的面积转化为区间上的定积分．曲边形的面积为：