从韦达定理的新证法谈起.pdf

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1、理的新证法谈起让』新⋯．逝盒然盘寥坠学接⋯韭⋯盎众所周知，关于韦达定理的证明(摊导)，以往的a27+2+c=0②教科书上都是由一元二次方程的求根公式出发的，即①～②，得o(一)+b(一：)：0，’对于关于的方程+缸+c=0(n≠O)，当b一4ac~0．．(l—2)[a(l+2)+b]：0，时方程有两个实数根．=—-—b-—v／~b--一4ac+=一——．X2=‘n，又①X2，②×x．，得2l2+bxl2+CX,2=0③n2l+bx21+CXI=0④～b一6一4ac—b+6一4acl2———————一——————=_一③一④，得I2(l一2)+c(2一I)=0，：～：(l—2)[

2、a2~l2一c]：0，：=(土(-b+~-4ac)l2或l2‘一(=2：二(：=12一l_借鉴上述证明(推导)韦达定理的方法，就可以4aa把原来需要利用韦达定理求解的问题，变得既可避免下面，我们避开求根公式，另辟蹊径，作出证明利用韦达定理(现行教材无韦达定理)，又可避免因(推导)记错定理中的性质符号产生的错误，或因思考不全产证1：设关于的一元二次方程ax+h+c=0生的漏洞．例如(n≠O，．b+。一+4。a+c~>O)，的；两．根；分别．。为+．．。、。+z。2．，．．则。+。+．。+。．；．．1．求作一个关于的方程，使它的两根分别是：Ⅱm数学大世界。．7．∞◆．．．．。，。+

3、．．．．。．。+．．、一1+五十=0，且(—1)(一2)=0，基口一(l+丁，丁a’一‘2)+I2=0解由题意(一)-o，·。++．．=一(1+2)+l2=0．2aa’‘。一(+)+·=。比较相应项系数，得即2一一1：0Oc．(42—4一1=0)I¨2一，l2’证2：a27+，+c=0①女口上解法避免了学生误把+作为一次．+．．⋯一．．⋯一⋯+．．⋯．．．．+．+．+．．．一—．．。+．．。．。．。．。+。+。．．+。．。+。+。+。．。+。．。+。+。+．敦掌大世界。叭．I7．∞；。．．．。+。+．+．．。．。．。项的系数．解：由已知m一6m=4①22．实数m，，l满足m一6

4、m=4，n一6n=4，求n—6n=4②旦+n的值_①一②，化简，得(m—n)(m+n一6)=0，‘．．m=n，或m+n=6．本题不但学生，甚至教学参考书刊中都有如下当m=，l时，旦+=2．解法．解根据韦达定理，m+n=6，mn=一4，当m≠n时，m+n=6．．旦：：：又①Xn一②×m，化简，得一．‘．——+——=——=————————一：一l1．n，nan，，1(m—n)(mn+4)=0，分析上述解法，看似利用韦达定理，可以十分。．．mn=一4(，n≠n)简便地求得问题的解决．但这是假定m，n是方程．旦+旦：：堡：一．．l1．一6+4=0的两根的基础上得来的．显然，由于△=(一

5、6)一4×1×(一4)>0．此时m≠n．但原题设中综上所述，m+n=2(m：，1)或旦+旦：一11nmm并无条件／'／Z≠n，故该解并不完备．(m≠n)．我们利用推导韦达定理的方法解之，就可避免漏掉．解法如下．(上接41页){l．结合方程组解的定义，可得到关系式四、数形转换。一目了然．，，=4例4无论m为何实数，直线Y=+2m与Y=一f3aI+4b1=cI{．根据这一关系式解出方程组+4的交点不可能在的象限是()．【302+4b2：c2A．IB．ⅡC．ⅢD．Ⅳf3aI+4blY5cJ{【的解，要通过变形换元替换的方法解解题思路：在平面直角坐标3a2+462Y=5c2系内画出直线

6、Y=一+4(如图＼y一x+4决．这样运算量大、繁琐，并且容易出错．故不妨考＼、1)．这样把数式转换成图形．观虑用数代换字母求解．O＼；察图l知，直线Y=一+4不经过解根据题意，第三象限．尽管直线Y=+2m有图1r=3rr卫I+bjY=cl1"3al+4bl=cl．．可能经过第一、二、三、四各个象限，但是它与直线Y把iy：4代入方程组i+6，，：C2得I3。：+46：：=一+4的交点不可能在第三象限，故选c．设0l=1，bl=-if-，Ⅱ2=2，b2=3，得五、取特殊值，简捷明快．l=5，。2=18．rai+扫jY=CIr=3例5若方程组{【的解是{，求方把它们．分别代．入方程组

7、{f3a1+2blY=5cl中，整理a2+b2Y=c3【Y4l3a2+2b2Y=5c2f3aJ+2blY5cIf3xY=25程组{的解．【3a2+2b2Y=5c2得{L+Y：15分析由已知条件方程组{ral+ot=c‘的解是fx=5解之，得{I即为所求方程组的解．I．a2x+62Yc2v：10