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时间:2020-04-12
《从韦达定理的新证法谈起.pdf》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、理的新证法谈起让』新⋯.逝盒然盘寥坠学接⋯韭⋯盎众所周知,关于韦达定理的证明(摊导),以往的a27+2+c=0②教科书上都是由一元二次方程的求根公式出发的,即①~②,得o(一)+b(一:):0,’对于关于的方程+缸+c=0(n≠O),当b一4ac~0..(l—2)[a(l+2)+b]:0,时方程有两个实数根.=—-—b-—v/~b--一4ac+=一——.X2=‘n,又①X2,②×x.,得2l2+bxl2+CX,2=0③n2l+bx21+CXI=0④~b一6一4ac—b+6一4acl2———————一——————=_一③一④,得I2(l一2)+c(2一I)=0,:~:(l—2)[
2、a2~l2一c]:0,:=(土(-b+~-4ac)l2或l2‘一(=2:二(:=12一l_借鉴上述证明(推导)韦达定理的方法,就可以4aa把原来需要利用韦达定理求解的问题,变得既可避免下面,我们避开求根公式,另辟蹊径,作出证明利用韦达定理(现行教材无韦达定理),又可避免因(推导)记错定理中的性质符号产生的错误,或因思考不全产证1:设关于的一元二次方程ax+h+c=0生的漏洞.例如(n≠O,.b+。一+4。a+c~>O),的;两.根;分别.。为+..。、。+z。2.,..则。+。+.。+。.;..1.求作一个关于的方程,使它的两根分别是:Ⅱm数学大世界。.7.∞◆....。,。+
3、....。.。+..、一1+五十=0,且(—1)(一2)=0,基口一(l+丁,丁a’一‘2)+I2=0解由题意(一)-o,·。++..=一(1+2)+l2=0.2aa’‘。一(+)+·=。比较相应项系数,得即2一一1:0Oc.(42—4一1=0)I¨2一,l2’证2:a27+,+c=0①女口上解法避免了学生误把+作为一次.+..⋯一..⋯一⋯+..⋯....+.+.+...一—..。+..。.。.。.。+。+。..+。.。+。+。+。.。+。.。+。+。+.敦掌大世界。叭.I7.∞;。...。+。+.+..。.。.。项的系数.解:由已知m一6m=4①22.实数m,,l满足m一6
4、m=4,n一6n=4,求n—6n=4②旦+n的值_①一②,化简,得(m—n)(m+n一6)=0,‘..m=n,或m+n=6.本题不但学生,甚至教学参考书刊中都有如下当m=,l时,旦+=2.解法.解根据韦达定理,m+n=6,mn=一4,当m≠n时,m+n=6..旦:::又①Xn一②×m,化简,得一.‘.——+——=——=————————一:一l1.n,nan,,1(m—n)(mn+4)=0,分析上述解法,看似利用韦达定理,可以十分。..mn=一4(,n≠n)简便地求得问题的解决.但这是假定m,n是方程.旦+旦::堡:一..l1.一6+4=0的两根的基础上得来的.显然,由于△=(一
5、6)一4×1×(一4)>0.此时m≠n.但原题设中综上所述,m+n=2(m:,1)或旦+旦:一11nmm并无条件/'/Z≠n,故该解并不完备.(m≠n).我们利用推导韦达定理的方法解之,就可避免漏掉.解法如下.(上接41页){l.结合方程组解的定义,可得到关系式四、数形转换。一目了然.,,=4例4无论m为何实数,直线Y=+2m与Y=一f3aI+4b1=cI{.根据这一关系式解出方程组+4的交点不可能在的象限是().【302+4b2:c2A.IB.ⅡC.ⅢD.Ⅳf3aI+4blY5cJ{【的解,要通过变形换元替换的方法解解题思路:在平面直角坐标3a2+462Y=5c2系内画出直线
6、Y=一+4(如图\y一x+4决.这样运算量大、繁琐,并且容易出错.故不妨考\、1).这样把数式转换成图形.观虑用数代换字母求解.O\;察图l知,直线Y=一+4不经过解根据题意,第三象限.尽管直线Y=+2m有图1r=3rr卫I+bjY=cl1"3al+4bl=cl..可能经过第一、二、三、四各个象限,但是它与直线Y把iy:4代入方程组i+6,,:C2得I3。:+46::=一+4的交点不可能在第三象限,故选c.设0l=1,bl=-if-,Ⅱ2=2,b2=3,得五、取特殊值,简捷明快.l=5,。2=18.rai+扫jY=CIr=3例5若方程组{【的解是{,求方把它们.分别代.入方程组
7、{f3a1+2blY=5cl中,整理a2+b2Y=c3【Y4l3a2+2b2Y=5c2f3aJ+2blY5cIf3xY=25程组{的解.【3a2+2b2Y=5c2得{L+Y:15分析由已知条件方程组{ral+ot=c‘的解是fx=5解之,得{I即为所求方程组的解.I.a2x+62Yc2v:10
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