高中数学第一章三角函数1.3蝗制课件1.pptx

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1、1.3弧度制思考有人问：上海到南京有多远时，有人回答约300公里，但也有人回答约188英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）回答：显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.1.角度制的定义规定周角的为1度的角，这种用度作单位来度量角的制度叫角度制.2.弧长公式及扇形面积公式在角度制下，当把两个角相加、相减时，由于运算进率非十进制，总给我们带来困难．那么我们能否重新选择角单位，使运算与常规的十进制加减法一

2、样去做呢？我们这节课要研究的主要内容就是弧度制.1.理解弧度的意义,熟记特殊角的弧度数.（重点）2.能熟练地进行弧度与角度的换算.（难点）3.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式.（难点）探究点1弧度制的有关概念在以单位长为半径的圆中,单位长度的弧所对的圆心角为__________，它的单位符号是rad,读作弧度.设弧长为l，若l=r，则∠AOB=1弧度.lr=OBrl=rA1弧度1弧度的角则∠AOB=2π弧度.lr=则∠AOB=2弧度.lr=rOABl=2r2π弧度l=2πrOA(B)r若l=2r，若l=2πr，2弧度若圆心角∠AOB表示一个负角，且

3、它所对的弧长为3r，则∠AOB的弧度数的绝对值是lr=3，即∠AOB=lr=-3弧度.l=3rOABr-3弧度-思考：通过上面的实例我们能得到什么结论？提示：圆心角∠AOB的弧度数的绝对值等于它所对的弧长与半径长的比.1弧度Rl=ROA'B'1弧度rl=rOAB与半径长无关的一个比值一般地，任一正角的弧度数都是一个_____；任一负角的弧度数都是一个_____；零角的弧度数是__.这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制.正数负数0总结：不同的角，其弧度数一定不相同.因此可用角的弧度数来度量角的大小.这种度量方法有效地把角度单位与长度单位统一起来

4、.弧度制确立了角的弧度数与实数间的一一对应关系，实数集R角的集合正角零角负角正实数零负实数对应角的弧度数【即时训练】判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)角的弧度数的大小与角的大小有关.()(2)角的弧度数与角所在圆的半径的大小有关.()(3)角α=5表示的是5弧度的角.(）【解析】(1)角的大小决定了弧度数的大小.(2)由弧度数的概念知弧度数与角所在圆的半径无关.(3)在用弧度表示角时“弧度”两字可以省略.√×√探究点2弧度制与角度制的换算360°=2πrad180°=πradl=2πrOA(B)r因为周角的弧度数是2π，而在角度制下它是36

5、0°，所以由180°=πrad还可得1°=——rad≈0．01745rad.180π1rad=（）°≈57．30°=57°18′.把角度换成弧度把弧度换成角度【即时训练】用弧度制表示终边落在x轴上方的角的集合为_________.【解题关键】角α的终边落在x轴上方，即角的终边落在第一象限、第二象限以及y轴的非负半轴上.【解析】若角α的终边落在x轴上方，则2kπ＜α＜2kπ+π,k∈Z.答案:{α

6、2kπ＜α＜2kπ+π,k∈Z}例1把45°化成弧度.解:45°=例2把化成度.解:方法：用弧度与角度的相互转化公式求解度0°30°45°60°90°180°

7、270°360°弧度0π2π提升总结一些特殊角的度数与弧度数的对应表对于0°～360°之外的角，我们也不难得到它们的弧度数.例如，-30°=-rad,420°=360°+60°=rad.思考：在进行角度制和弧度制的换算时，应注意什么？提示：(1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”两字或“rad”可以不写.(2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数.(3)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度.设r为圆的半径,l是圆心角α所对的弧长，在使用弧度制时，圆心角α的弧度数通常也用α来表示，由弧度的定义可知

8、，角α的弧度数的绝对值满足：︱α︱=lr即l=

9、

10、r探究点3扇形的弧长和面积即弧长等于弧所对的圆心角弧度数的绝对值与半径的积.证明:(1)由于半径为r，圆心角为n的扇形的弧长公式和面积公式分别是：将n转换为弧度，得于是，(2)将代入上式，即得例3如图，利用弧度制证明扇形面积公式其中r是半径，l是弧长，为圆心角，S是扇形的面积.思考：弧长、扇形的面积公式中的角α是否可以是角度制？提示：不可以.在不同的度量角的制度下，扇形的弧长和面积公式是不同的，角度制下的弧长和扇形面积公式：弧长l=,扇形的面积S==lr.在应用时必须选用与角的度量制对应的公式.已知扇形

11、的周长为8cm，圆心角为2rad，求该扇形的面积.【解析】设扇形的半径为rcm，弧长为lcm，