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1、本章整合第三章概率专题1专题2专题3专题4专题5专题一互斥事件与对立事件及其概率的求法互斥事件和对立事件是针对两个事件而言的,它们既有区别又有联系.在一次试验中,两个互斥事件有可能都不发生,也可能有一个发生;而两个对立的事件则必有一个发生,但不可能同时发生.所以,两个事件互斥,它们未必对立;反之,两个事件对立,它们一定互斥.若事件A1,A2,A3,…,An彼此互斥,则P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).应用互斥事件的概率的加法公式解题时,一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥,然后求出各事件分别发生的概率,再求和.对于较复杂事件的概率,可以转化为求对立事件的
2、概率.专题1专题2专题3专题4专题5应用1给出以下四个命题:(1)将一枚硬币抛掷两次,设事件A:“两次都出现正面”,事件B:“两次都出现反面”,则事件A与B是对立事件;(2)在命题(1)中,事件A与B是互斥事件;(3)在10件产品中有3件是次品,从中任取3件,事件A:“所取3件中最多有2件是次品”,事件B:“所取3件中至少有2件是次品”,则事件A与B是互斥事件;(4)两个事件对立必然互斥,反之不成立.试判断以上命题正确与否.解:命题(1)不正确,命题(2)正确,命题(3)不正确,命题(4)正确.互斥事件是指两个事件不可能同时发生,即A∩B是不可能事件,而对立事件除满足互斥事件的条件外,还须
3、满足A∪B是必然事件,理解了这些,就能正确判断各命题的正确与否,进而可作出正确的选择.专题1专题2专题3专题4专题5因为抛掷两次硬币,除事件A,B外,还有“第一次出现正面,第二次出现反面”和“第一次出现反面,第二次出现正面”两种事件,所以事件A和B不是对立事件,但它们不会同时发生,所以是互斥事件.又因为在命题(3)中,若所取的3件产品恰有2件次品,则事件A和B同时发生,所以事件A和B不是互斥事件.故命题(3)不正确.由对立事件的定义知:若两个事件是对立事件,则它们首先是互斥事件,但互斥事件不一定必有一个发生,即互斥事件不一定是对立事件.所以命题(4)正确.专题1专题2专题3专题4专题5应用
4、2某地医院一天派出医生下乡医疗,派出医生人数及其概率如下:求:(1)派出医生至多2人的概率;(2)派出医生至少2人的概率.提示:含有“至多”“至少”字眼的求概率问题,可利用互斥事件概率的加法公式,也可考虑对立事件的概率.专题1专题2专题3专题4专题5解:设事件A=“不派医生”,事件B=“派出1名医生”,事件C=“派出2名医生”,事件D=“派出3名医生”,事件E=“派出4名医生”,事件F=“派出5名及5名以上医生”.(1)∵事件A,B,C,D,E,F彼此互斥,且P(A)=0.1,P(B)=0.16,P(C)=0.2,∴P(A∪B∪C)=0.1+0.16+0.2=0.46.故派出医生至多2人的
5、概率为0.46.(2)设G={派出医生至少2人},专题1专题2专题3专题4专题5提示:解古典概型问题的关键在于选择正确的基本事件,并能正确地数出基本事件的个数.数基本事件的个数可以通过列表、树形图、坐标系等使问题变得形象直观.专题1专题2专题3专题4专题5(方法二)专题1专题2专题3专题4专题5应用2现有6道题,其中4道甲类题,2道乙类题,张同学从中任取2道题解答.试求:(1)所取的2道题都是甲类题的概率;(2)所取的2道题不是同一类题的概率.提示:枚举法是解决古典概型最直接、最常见的方法.在枚举时要先标记符号,并且要按要求进行选取,注意结果有无顺序性.解:(1)将4道甲类题依次编号为1,
6、2,3,4;2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题,基本事件为:{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},{3,4},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},{5,6},共15个,而且这些基本事件的出现是等可能的.专题1专题2专题3专题4专题5专题1专题2专题3专题4专题5提示:利用概率解决问题时,常用到方程思想.本题利用已知的概率和计算出的概率相等列出方程.专题1专题2专题3专题4专题5应用2设点(p,q)在
7、p
8、≤3,
9、q
10、≤3所表示的区域中,试求方程x2+2px-q2+1=0有实数根的概率.提示:解决几何概型的
11、关键在于正确地将问题转化为几何度量问题.转化的过程体现了构造的思想,难度较大,这需要多练习才能找到其中的规律,本题得到含有两个参数的一些限制条件的问题,我们可以将其转化为平面图形问题来解决.专题1专题2专题3专题4专题5解:由已知,点(p,q)组成了边长为6的正方形,如图所示.由方程x2+2px-q2+1=0两根都是实数得Δ=(2p)2-4(-q2+1)≥0,即p2+q2≥1.因此,当点(p,q)落在图中的阴影区域时,方
