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《建立空间直角坐标系_解立体几何题_张传法.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2004年第6期数学通讯15建立空间直角坐标系,解立体几何题张传法李霞(临沂市罗庄区一中,山东276017)近年的高考试题都有一道立体几何的解答题,BE·nd=BE·BE·n用传统方法解答往往步骤繁琐,需要做大量的定性BE·n=说明论证.高中新教材第二册(下B)引入了空间向n2量坐标运算这一内容,使得空间立体几何中的平3211==.行、垂直、角、距离等问题避免了传统方法中进行大1111++199量繁琐的定性分析,只需建立空间直角坐标系进行211即点B到平面EFG的距离为.定量运算,使问题得到了大大的简化.而用向量坐11评析本题需把点到平面的
2、距离转化到线到标运算的关键是建立一个适当的空间直角坐标系.平面的距离,然后再转化到点到平面的距离,需做1直接建系大量的辅助线,难度很大.但利用CB,CD,CG两两当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直互相垂直的关系,建立空间直角坐标系,利用法向线时,可以利用这三条直线直接建系.量、射影的有关知识可轻松解决.例1(1991年全国高考题)如图1,已知2利用图形中的对称关系建系ABCD是边长为4的正方形,E,F分别是AB,AD有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的的中点,GC⊥面ABCD,且GC=2,求点B到平面三条直线,但是图形中存在一定的对称
3、关系(如:正EFG的距离.三棱锥、正四棱锥、正六棱锥等),我们可以利用图解建立如图1所示形中的对称性建立空间直角坐标系来解题.的空间直角坐标系C-xyz.例2(2001年由题意,知C(0,0,0),二省一市高考题)如G(0,0,2),E(2,4,0),F(4,图2,以底面边长为2,0),B(0,4,0).2a的正四棱锥V-∴GE=(2,4,-2),图1例1图ABCD底面中心OGF=(4,2,-2),BE=(2,0,0).为坐标原点建立空设平面EFG的法向量为n=(x,y,z),则n⊥间直角坐标系O-2x+4y-2z=0,图2例2图GE,n⊥
4、GF,得xyz,其中Ox∥BC,4x+2y-2z=0.11Oy∥AB,E为VC的中点,高OV为h.令z=1,得x=,y=,331)求cos;11即n=,,1.332)记面BCV为α,面DVC为β,若∠BED是二BE在n方向上的射影的长度为面角α-VC-β的平面角,求∠BED.16数学通讯2004年第6期解1)由题意,知B(a,a,0),D(-a,-a,0),求:1)二面角O1-AB-O的大小;aah2)异面直线A1B与AO1所成角的大小.(结果E-,,,222用反三角函数值表示)3aah∴BE=-,-,,222解1)如图3,取
5、OB的中点D,连接O1D,则a3ahDE=2,2,2,O1D⊥OB.cos=BE·DE∵平面OBB1O1⊥平面OAB,BE·DE222∴O1D⊥面OAB.3a3ah--+=444过D作AB的垂线,垂足为E,连结O1E,则O1E22225ah5ah2+4·2+4⊥AB,∠DEO1为二面角O1-AB-O的平面角.22=-6a+h.由题设得O1D=3,2210a+h2)∵V(0,0,h),C(-a,a,0),sin∠OBA=OA=21,OA2+OB27∴VC=(-a,a,-h).21∴DE=DBsin∠OBA=.又∠BED是二面角α
6、-VC-β的平面角,7∴BE⊥VC,DE⊥VC,∵在Rt■O1DE中,tan∠DEO1=7,22223aah2h∴∠DEO1=arctan7,即二面角O1-AB-O的即BE·VC=--=a-=0,22222大小为arctan7.2h∴a=,22)以O为原点,分别以OA,OB所在直线为22-6a+h1代入cos=22=-3,x,y轴,过点O且与平面AOB垂直的直线为z轴,10a+h1建立空间直角坐标系.则O(0,0,0),O1(0,1,3),即∠BED=π-arccos.3评析本题利用图形的对称性,以正四棱锥A(3,0,0),A
7、1(3,1,3),B(0,2,0).V-ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐A1B=(-3,1,-3),标系,使得求角更易操作.O1A=(3,-1,-3),3利用面面垂直的性质建系A1B·O1Acos==有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条A1B·O1A-3-1+31直线,但是有两个互相垂直的平面,我们可以利用=-7,7·7面面垂直的性质定理,作出互相垂直且相交于一点故异面直线A1B与AO1所成角的大小为的三条直线,建立空间直角坐标系.1arccos.例3(2002年上7海高考题)如图3,三棱评析本题求异面直线A1
8、B与AO1所成角,柱OAB-O1A1B1中,平不易转化,利用平面OBB1O1⊥平面OAB,建立空面OBB1O1⊥平面间直角坐标系解题,使得问题轻松解决.OAB,∠O1OB=60°
