【强烈推荐】高考数学圆锥曲线若干问题解法(精品).pdf

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1、圆锥曲线的若干问题问题1：圆锥曲线有关最值问题1、回到定义22xy例1、已知椭圆1，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：2595y（1）求

2、PA

3、

4、PB

5、的最小值；4P'P（2）求

6、PA

7、+

8、PB

9、的最小值和最大值。BQ略解：（1）A为椭圆的右焦点。作PQ⊥右准线于点Q，则由椭圆的第COAxP"

10、PA

11、4二定义e，

12、PQ

13、55∴

14、PA

15、

16、PB

17、

18、PQ

19、

20、PB

21、.问题转化为在椭圆上找一点P，使其到点B和右准线的距离之417和最小，很明显，点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为。4（2）由椭圆的第一定义，设C为椭

22、圆的左焦点，则

23、PA

24、=2a-

25、PC

26、∴

27、PA

28、+

29、PB

30、=2a-

31、PC

32、+

33、PB

34、=10+(

35、PB

36、-

37、PC

38、)根据三角形中，两边之差小于第三边，当P运动到与B、C成一条直线时，便可取得最大和最小值。即-

39、BC

40、≤

41、PB

42、-

43、PC

44、≤

45、BC

46、.当P到P"位置时，

47、PB

48、-

49、PC

50、=

51、BC

52、，

53、PA

54、+

55、PB

56、有最大值，最大值为10+

57、BC

58、=10210；当P到P"位置时，

59、PB

60、-

61、PC

62、=-

63、BC

64、，

65、PA

66、+

67、PB

68、有最小值，最小值为10-

69、BC

70、=10210。回到定义的最值解法同样在双曲线、抛物线中有类似应用。另外，（2）中的最小值还可以利用椭圆的光

71、学性质来解释：从一个焦点发出的光线经过椭圆面反射后经过另一焦点，而光线所经过的路程总是最短的。2、利用闭区间上二次函数最值的求法2例2、在抛物线y4x上求一点，使它到直线y=4x-5的距离最短。1224(t)44t4t522解：设抛物线上的点P(t,4t)，点Ｐ到直线4x-y-5=0的距离d1717141当t时，d，故所求点为(,1)。min217222例3、已知一曲线y2x，（１）设点A的坐标为(,0)，求曲线上距点A最近的点P的坐标3及相应的距离

72、PA

73、；（２）设点A的坐标为（a,0）a∈R，求曲线上点到点A距离最小值d，并写出d=f（a

74、）的函数表达式。2解：（1）设M（x,y）是曲线上任意一点，则y2x(x0)1222222121MA(x)y(x)2x(x)∵x≥03333242MAmin∴所求P点的坐标是（0，0），相应的距离是AP932222（2）设M（x,y）是曲线上任意一点，同理有MA(xa)y(xa)2x2[x(a1)](2a1)x02a1(当a1时)综上所述，有da(当a1时)3、运用函数的性质cosAb4例4、在△ABC中，A，B，C的对边分别为a,b,c，且c=10,，P为△ABCcosBa3内切圆上

75、动点，求点P到顶点A，B，C的距离的平方和最大值与最小值。cosAbsinB解：由sinAcosAcosBsinA0sin2Asin2BcosBasinAb4∵1∴2A2B∴△ABC为Rt△由C=10，且a3b4知a=6b=8a3设△ABC内切圆半径为r，如图建立直角坐标系，22则Rt△ABC的内切圆M的方程为：(x2)(y2)4设圆M上动点P（x,y）(0x4)，则P点到顶点A，B，C的距离的平方和为22222222222PAPBPC(x8)yx(y6)yx3x3y16x12y10022

76、3[(x2)(y2)]4x76＝88-4x∵点P在内切圆M上，0x4，于是88088881672maxmin例5、直线m：y=kx+1和双曲线x2-y2=1的左支交于A，B两点，直线L过点P（-2，0）和线段AB的中点M，求L在y轴上的截距b的取值范围。略解：设A（x22221,y1），B（x2,y2），M（x0,y0），将y=kx+1代入x-y=1得（1-k)x-2kx-2=0,由k1题意，△>0且x1+x2<0,x1x2>0,解之得1k2,且M(,),又由P（-2，0），M，Q221k1k1b1k212（0，b）共线，

77、得，即bkk2k22222kk2221k下面可利用函数f(k)=-2k2+k+2在(1,2)上是减函数，可得b22或b2。22x2例6、已知P是椭圆y1在第一象限内的点，A（2，0），B（0，1），O为原点，求四4边形OAPB的面积的最大值。略解：设P（2cosθ,sinθ），(0<θ<л/2),点P到直线AB：x+2y=2的距离

78、22sin()2

79、

80、2cos2sin2

81、422221025d5555∴所求面积的最大值为24、判别式法2例7、定长为3的线段AB的两个端点在抛物线yx上移动，记线段AB的

82、中点为M，求点M到y轴的