高考试题中圆锥曲线的离心率解法剖析.pdf

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1、万方数据试题研究'解题技巧⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯敦学教学通讯(中等教育)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯·投稿邮箱：sxjk@vip．163．com朱建波江苏沛县中学221600舅一≮黛芸篡嚣椭籼籼黼⋯躺，点氕戳了触≯蹲腻糊瞄关键词：椭圆；双曲线；离心率；思路剖析离心率e是刻画圆锥曲线性质的重要参数．求圆锥曲线离心率的值或范围的问题在全国各省市高考试题中屡见不鲜．在各地的调研试题中也每每出现．解决此类问题。需要认真审核．从题目信息，从所给的数式与图形中，构造关于三个量口。b。c的等量关系或不等关系．从而找到解题方向．但是学生在处理这类问题的部分试题时．经常束手无策．笔者

2、认为：此类问题并非无迹可寻．而是有法可依．现选取部分高考试题。给出几种思路或方法。并加以解析与点评．以期能为同行与学生提供参考．Q剪定义法——利用定义求解e倒1(2011年福建卷理科第7题)设圆锥曲线C的两个焦点分别为R，B，若C_E存在点P满足I矾l：IFIRI：I踢l-4：3：2．求圆锥曲线C的离心率．解析：由题意*-fi雯I隅I--4k，IE尼l=3七，lPF2l=2k，矗娥若c为椭圆，由椭圆的定义可得l隅l+fPF2I=2a=6k，．黜la=3k．而IE足I-3k=2c，得c=委七，所以e=三=了1．若c为双曲线，由双曲线的定义可得I矾l—lPF

3、2ll=2I仁2_j}，勋la=k．而I—R

4、-3扣2c，得c=詈七，所以e-詈3詈·综上，圆锥曲线C的离心率为土或三．评注：圆锥曲线的教学是围绕着定义展开的．定义准确地揭示了圆锥曲线这一概念内涵．因此定义法应当是解决离心率问题的基本策略．本题中．根据点P的特殊位置．利用定义分别列出等量关系．迅捷地达到了求解的目的．当然．我们除了应重视圆锥曲线的具体定义外。还应关注圆锥曲线的统一定义，即根据已知条件选取对应的焦点与准线．构造圆锥曲线的统一定义，从而解决问题．以下例2就是利用圆锥曲线的统一定义解题的范例．倒2(2010年全国卷I理科第16题)已知难椭圆C的

5、一个焦点，曰是短轴的一个端点．线段引P的延长线交椭圆c于点D，且藤2而，则椭圆c的离心率为一一：厂‘汾。弋彰7解析：如图1，IBFl=、佰茸孑=口，作DD·坍彻一岫藤疡滑器=器=詈，MIDO-I=乏310mI_c'3即菇庐詈．又由圆锥曲线的统一定义可得I刃I=e}兰211一翌2a，x．由IBFI=21FDI，得泸弘望，所她宰．评注：定义是数学概念之本．是解决数学问题的重要依据，回归定义，应用定义法解题是不容忽视的重要方法之一．(固。坐标法——通过求定点坐标解e值倒3(2009年江苏卷第13题)在平面直角坐标系菇0，，中，A。，A2，B。，B2为椭圆薯+岳

6、=1(D6>o)的四个顶点，肋其右焦点，直线A。B2与直线B。瑚交于点r，线段OT与椭圆的交点肘恰为线段0r的中点，则该椭圆的离心率为一vJB2取r。i夕A八0拦／z；＼Bl图2解析：如图2，易得A，(一口，0)，B1(0，一b)，B2(0，b)，F(c，0)，直线AlB2的方程为bx—ay+ab=O，直线日lF的方程为6戈-c)，一bc=O．联立直线AIB2和直线B，F的方程可求得点r的坐标为f丝，望堕堕1，点肘的坐标为(三，罴)，橼肘的坐万方数据投稿邮箱：sxjk@vip．163．corn⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯·数学教学遥讯(中等lllllf)．．⋯⋯⋯⋯

7、⋯⋯⋯⋯⋯⋯试觏愧>俩匦技巧标(告，等卜曲线方程告唔=口2c262(叶c)21(。>6>o)有尘≠+掣：1，即e2+lOe一3--0，可求得e=2、／可一5．．评注：标准方程是圆锥曲线的量化体现，．&M(xo，Yo)在圆锥曲线上除了满足圆锥曲线的定义外．其坐标也满足曲线的方程．例3借助直线的方程、中点坐标公式、圆锥曲线的性质等基础知识．通过计算，直接用口，b，c刻画定点肘的坐标后，将其代入曲线方程．从而解出e值．因此，通过求定点坐标，找出口与c的关系。也是解决离心率问题的有效途径之一．例4(2012年浙江卷理科第8题)已知，I，，2分别是双曲线c：吾一吾

8、=1(口，b>0)的左、右焦点，B是虚轴的端点。直线FIB与C的两条渐近线分别交于P．Q两点，线段用的垂直平分线与石轴交于点麒若IMF2J-lEF2I，则c的离心率是．，，。必渡7弋＼；圈3解析：如图3，易得fOBl=b，IOF,I=c．所以

9、

10、}胪鱼，l

11、}胪一旦．．直线PQ的方程为，，：鱼(并+c)，两条渐近线的方程为辟鱼氩由a得Qf旦，旦1；由＼C-aC—aib，．、)，2～L并+c)，Cb’，=一茹nP(署，兰C1I．可叫害b，针b所以＼C+口+o＼‘／直线删的方程妒等一詈卜害)令产喊庐乏又lJIfRl-IFlRl=2c，所姚～』C2--矿，解之

12、得e2=吾=寻，即、／6e=一．2评注：这道题也是由直线的方程、中点坐标公式、双