高考数学圆锥曲线问题中离心率e的应用分析

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1、高考数学圆锥曲线问题中离心率e的应用分析圆锥曲线是高中学习内容中的重点，学生若要解决该类型题目，需要具备良好的抽象思维以及逻辑思维.所谓I锥曲线，一般可统一定义为：平面当中至某一定点F与至某一定直线I之间距离之比为常数e的轨迹，且规定点F不属于直线I.若01，则轨迹为双曲线;若e=l,则轨迹为抛物线.由上述定义可知离心率对圆锥曲线而言，极为重要.故而，学生在解决有关圆锥曲线的问题时，便可灵活使用离心率e作为解决问题的方法.一、离心率在双曲线中的应用高考数学试卷当中，部分填空题也涉及了有关圆锥曲线的知识，部分学生往往按照解答题的方式解答，导致学生需要消耗大量时间，解题效率不高.

2、解决该类型题目，需要学生认真分析题目给定条件，选取合适且简便的方法，解答问题.双曲线是圆锥曲线中的一种，在填空题当中出现频率较高，学生应熟悉如何运用离心率e解决相关问题.例12015衡水四模）设存在椭圆，其中心为原点，该椭圆同双曲线的焦点相同，设左右焦点分别为FI、F2，在第一象限内，两条曲线的交点为点P，APF1F2为等腰三角形，以线段PF1作为底边.若

3、PFl

4、=10,椭圆离心率设为el，双曲线离心率设为e2，求el?e2的取值范围.题目分析针对该题目，学生应先设定椭圆以及双曲线的半焦距为c，

5、PFl

6、=m，

7、PF2

8、=n（m>n因为APF1F2是等腰三角形，且将线段PF

9、1作为底边，若

10、PF11=10,则有m=10n=2c.根据椭圆定义可知m+n=2al.根据双曲线定义可知m-n=2a2.即：al=5+c，a2=5-c，且clO，即c〉52，即有5213.则el?e2的取值范围便是（13,+oo）.圆锥曲线是高中数学极为重要的知识点，而离心率则是大部分圆锥曲线解题的关键.故而，学生应熟悉如何在解题过程中灵活运用离心率进行问题的解答以便提高自身解题能力以及效率，从而提高自身成绩.离心率在双曲线中的应用例2（2014年辽宁）已知椭圆C:x29+y24=l,点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则

11、AN

12、

13、+

14、BN

15、=.题目分析根据三角形中位线定理把求

16、AN

17、+1BN

18、的大小问题转化为求

19、PF1

20、+

21、PF2

22、的大小问题，再利用椭圆的定义可求得

23、AN

24、+

25、BN

26、的值.设线段MN的中点为P，左右焦点分别为FI、F2.又因为F1为线段MA的中点，F2为线段MB的中点，所以

27、AN

28、=2

29、PF1

30、,

31、BN

32、=2

33、PF2

34、•则

35、AN

36、+

37、BN

38、=2(

39、PF1

40、+

41、PF2

42、).由椭圆定义

43、PF1卜

44、PF2

45、=2a，所以

46、AN

47、+

48、BN

49、=4a.又因为a2=9，所以a=3，所以

50、AN

51、+

52、BN

53、=12.三、离心率在抛物线中的应用例3（2014年大纲）已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为

54、F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且

55、QF

56、=54

57、PQ

58、.（1）求C的方程；（2）略.题目分析可以利用待定系数法.先利用抛物线的定义结合已知条件求得含有p的点P的横坐标，再将点P的坐标代入抛物线方程，即可求得p的值.设Q（x，4），直线y=4与准线交于H.因为抛物线的准线为x=-p2,则由抛物线定义知

59、QF

60、=

61、QH

62、=x+p2.又因为

63、PQ

64、=x,

65、QF

66、=54

67、PQ

68、，所以x+p2=54x，解得x=2p，则Q（2p，4）.代入y2=2px,得16=2p?2p,解得p=2.所以抛物线的方程为y2=4x.圆锥曲线是高中数学极为重要的知识点，而离心率则是大部分圆

69、锥曲线解题的关键.故而，学生应熟悉如何在解题过程中灵活运用离心率进行问题的解答，以便提高自身解题能力以及效率，从而提高自身成绩.