学生 第1讲 相似三角形培优讲义1!.pdf

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1、第1讲相似三角形讲义学习目标解三角形相似的判定方法学习重点：能够运用三角形相似判定方法解决数学问题及实际问题．学习难点：运用三角形相似判定方法解决数学问题的思路学习过程一、证明三角形相似例1：已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD求证：△DBE∽△ABC例2、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形(2)如图：其中∠1

2、=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。(3)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及△EAF与△ECA二、相似三角形证明比例式和乘积式例3、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：DFAC=BCFE例4：已知：如图，在△ABC中，∠BAC=900，M是BC的中点，DM⊥BC于点E，交BA的延长线于点D。求证：（1）MA2=MDME；（2）三、相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。例5：已知

3、：如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且。求证：∠AEF=∠FBD例6、直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BCDE是正方形，AE交BC于F，FG∥AC交AB于G，求证：FC=FG例7、Rt△ABC锐角C的平分线交AB于E，交斜边上的高AD于O，过O引BC的平行线交AB于F，求证：AE=BF目标训练一、填空题1、两个相似三角形的面积比S1:S2与它们对应高之比h1:h2之间的关系为．2、如图2，平行四边形中，是边上的点，交于点，如果，那么．（第3题图）OA1A2A3A4ABB1B2B314ECDAFB图23、如图，点在射线上，点在射线上，

4、且，．若，的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为．4.△ABC中，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB=3：2：1，则S△ADE：S四边形DFGE：S四边形FBCG=二、选择题1.已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（）(A)1：2(B)1：4(C)2：1(D)4：12.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（）A．只有1个B．可以有2个C．有2个以上但有限D．有无数个3.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给

5、人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm4、如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的（）Ａ．Ｂ．Ｃ．EHFGCBA（（第4题图）ADBCEFM(第5题图)5、如图，直角梯形ABCD中，∠BCD＝90°，AD∥BC，BC＝CD，E为梯形内一点，且∠BEC＝90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC＝5，CF＝3，

6、则DM:MC的值为（）A.5:3B.3:5C.4:3D.3:46、如图，在Rt△ABC内有边长分别为的三个正方形，则满足的关系式是（）A、B、C、D、7、如图,Rt△ABAC中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,P是BC边上一点,作PE⊥AB于E,PD⊥AC于D,设BP=x,则PD+PE=（）A.B.C.D.三、解答题1、如图5，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC,∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连结EF.（1）求证：EF∥BC.（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积.2、（本小题满分10分）如图：在等腰△AB

7、C中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E,连接BP交AC于点F.(1)证明：∠CAE=∠CBF;(2)证明：AE=BF;(3)以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E与点F重合于点G），记△ABC和△ABG的面积分别为S△ABC和S△ABG,如果存在点P,能使得S△ABC=S△ABG,求∠C的取之范围。FCABPEH3、如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E.（1）求证：AB·AF＝CB·CD（2）已知AB＝15cm，B

8、C＝9cm，P是射线DE上的动点.设DP＝xcm（x＞0），四边形