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1、初中数学（人教版）八年级下册第十九章 一次函数知识点一 一次函数解析式的确定名称定义应用步骤图示待定系数法先设待求函数关系式(其中含有未知系数),再根据条件列出方程(组),求出未知系数,从而得到所求结果的方法,叫做待定系数法设:设函数关系式为y=kx+b(k≠0);代:将已知点的坐标代入所设关系式中,得到关于k、b的方程(组);解:解方程(组)求得系数的值;写:将k、b的值代回关系式中并写出关系式例1(2018福建厦门一模)如图19-2-2-2-1,在平面直角坐标系中,直线l经过第一、二、
2、四象限,点A(0,m)在直线l上.(1)在图中标出点A;(2)若m=2,且l过点(-3,4),求直线l的表达式.图19-2-2-2-1分析(1)利用y轴上点的坐标性质得出A点的位置;(2)利用待定系数法求出直线l的表达式即可.解析(1)点A的位置如图19-2-2-2-2所示:图19-2-2-2-2(2)设直线l的表达式为y=kx+b(k≠0),把(0,2),(-3,4)分别代入y=kx+b,得解得故直线l的表达式为y=-x+2.点拨利用待定系数法求一次函数的解析式时,一定要有两个独立的条件,如两
3、个点的坐标,或x与y的两对对应值等.知识点二 一次函数的应用一次函数的应用就是把实际问题抽象成数学问题,建立一次函数模型,通过一次函数解决实际问题.温馨提示在实际问题中,当自变量的取值范围受到一定限制时,函数y=kx+b(k≠0)的图象就不再是一条直线,要根据实际情况进行分析,其图象可能是射线、线段或折线等等.例2某校为了实施“大课间”活动,计划购买篮球、排球共60个,跳绳120根,已知一个篮球70元,一个排球50元,一根跳绳10元.设购买篮球x个,购买篮球、排球和跳绳的总费用为y元.(1
4、)求y与x之间的函数关系式;(2)若购买上述体育用品的总费用为4700元,则篮球、排球各买多少个?分析(1)根据“总费用=购买篮球的费用+购买排球的费用+购买跳绳的费用”即可求出结果;(2)把y=4700代入(1)中求出的解析式就可以求出购买篮球的个数,从而求出购买排球的个数.解析(1)依题意得y=70x+50×(60-x)+10×120=20x+4200(0≤x≤60且x为正整数).(2)当y=4700时,有4700=20x+4200,解得x=25.所以购买排球60-25=35(个).答:购买
5、篮球25个,购买排球35个.题型一 一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积问题例1已知一次函数y=kx+b的图象经过点(3,-3),且与直线y=4x-3的交点在x轴上.(1)求一次函数的解析式;(2)此函数的图象经过哪几个象限?(3)求此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积.分析(1)先确定直线y=4x-3与x轴的交点坐标,然后利用待定系数法求出一次函数的解析式;(2)由k,b的符号确定一次函数的图象经过的象限;(3)若要求一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积,则先要求出一次函数图象与两
6、坐标轴的交点坐标,然后利用三角形的面积公式求解.解析(1)对于一次函数y=4x-3.当y=0时,x=.∴它与x轴的交点坐标为,∴直线y=kx+b经过点(3,-3)和点,∴解得∴一次函数的解析式为y=-x+1.(2)∵k=-<0,b=1>0,∴一次函数y=-x+1的图象经过第一、二、四象限.(3)∵当x=0时,y=1,当y=0时,x=,∴该一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积S=
7、x
8、·
9、y
10、=.方法归纳求一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积是一次函数中的常见题型,解此类问题的关键是求出直线与
11、x轴,y轴的交点坐标,从而确定所求直角三角形的两条直角边的长.题型二 借助于函数图象求解析式例2对某市甲、乙两商场的员工工资与销售量进行调查分析,图19-2-2-2-3中的l1、l2分别表示甲、乙两商场每月付给员工的工资y1(元)、y2(元)与销售商品的件数x(件)的关系.图19-2-2-2-3(1)根据图象分别求出y1、y2与x的函数关系式;(2)根据图象直接回答:哪个商场付给员工的工资多一些.解析(1)设y1与x的函数关系式为y1=k1x(k1≠0),将(40,600)代入,得600=
12、40k1,解得k1=15,故y1与x的函数关系式为y1=15x(x≥0且x为整数).设y2与x的函数关系式为y2=k2x+400(k2≠0),将(40,600)代入,得600=40k2+400,解得k2=5,故y2与x的函数关系式为y2=5x+400(x≥0且x为整数).(2)根据图象可知,当销售件数大于40时,甲商场付给员工的工资多一些;当销售件数小于40时,乙商场付给员工的工资多一些;当销售件数等于40时,甲商场与乙商场付给员工的工资一样多.点拨一次函数表达式的确定通常有以下几种情况:(1)
