知识点25 可导、可微与连续三个概念之间的关系.pdf

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1、学科：高等数学第二章导数与微分知识点25可导、可微与连续三个概念之间的关系精选习题作者：邹群例25.1(难度系数0.4)若fx在x可导，则fx在x处().00（A）必可导（B）连续但不一定可导（C）一定不可导（D）不连续解析：连续性：若fx在x可导，则一定连续，故limfxfx.下面研00xx0究可导性：例如fxx,则fx在x0处可导；但是fxx在x=0处不可导.00解：（B）.例25.2(难度系数0.6)设limf(x)limf(x)a，则（）.xx0xx0（A）f(x)在xx处必可导且f(x)a00（B）f(x)在xx处连

2、续但未必可导0（C）f(x)在xx处有极限但未必连续（D）以上结论都不对.0x1,x0,解析：用特例法，设f(x)x1,x0.1,x0f(x)，limf(x)limf(x)1.1,x0x0x0但是limf(x)1，limf(x)1，f(x)在x0处极限不存在，自然不连续.x0x0故排除（A），（B），（C），选择（D）.注意:这几个结论都容易误导人！凡是遇到诸如概念之间的关系的题目均应视为“雷区”须小心翼翼，才不会“触雷”.例如(A),在某点周边有导数，甚至左右导数相等也不能断言此点可导！只需要将导函数视为一般的函数即可：相当于

3、函数左右极限存在且相等，不等于此点有定义.解：（D）.n1例25.3(难度系数0.4)设fxxsin(x0)且f00，则fx在x0处x().n1（A）令当limfxlimxsinf00时才可微x0x0x（B）在任何条件下都可微（C）当且仅当n2时才可微1（D）因为sin在x0处无定义，所以不可微x解析：因为可微与可导两个概念是等价的，所以只需考虑可导性.n11hsinf(0)sinf(0h)f(0)hn2hh，hh1h1sinn2hn2要使limhlimh存在，即n2.h01h0h解：（C）例25.4(难度系数0.4)1f(

4、x)(1x)x,x0证明函数在(1,)上可导，并研e,x0究其导函数f(x)在x0点处的连续性.解析：分段函数在分段点的连续性和可导性必须要根据导数的定义判断.解：当x1且x0时，ln(1x)1x(1x)ln(1x)f(x)ex(1x)x；2x(1x)0x(1x)ln(1x)0ln(1x)elimf(x)elimelim；22x0x0x(1x)x02x3x211xx(1x)ln(1x)(1x)f(x)f(0)(1x)xex2(1x)ef'(0)limlimlim..x

5、0xx0xx012综上所述，可知函数f(x)在(1,)上可导；导函数f(x)在x0点处连续.例25.5(难度系数0.4)f(x),x0,设F(x)x，其中f(x)在(,)上具有二阶连续导数，且f(0)0，f(0),x0.求F(x)并讨论F(x)的连续性.解析：同上.xf(x)f(x)解：x0时，F(x)；2xf(x)f(0)F(x)F(0)xF(0)limlimx0xx0xf(x)xf(0)f(x)f(0)limlim2x0xx02xf(x)f(0)lim（据二阶导的连续性）x02x2x

6、f(x)f(x),x0,2xF(x)f(0),x0.2xf(x)f(x)xf(x)f(0)limF(x)limlimF(0)，2x0x0xx02x2故F(x)在x0连续，又F(x)在x0连续，所以F(x)在(,)上连续.例25.4(难度系数0.6)设limf(x)limf(x)a，则（）.xx0xx0（A）f(x)在xx处必可导且f(x)a00（B）f(x)在xx处连续但未必可导0（C）f(x)在xx处有极限但未必连续（D）以上结论都不对.0x1,x0,解析：用特例法，设f(x)

7、x1,x0.1,x0f(x)，limf(x)limf(x)1.1,x0x0x0但是limf(x)1，limf(x)1，f(x)在x0处极限不存在，自然不连续.x0x0故排除（A），（B），（C），选择（D）.注意:这几个结论都容易误导人！凡是遇到诸如概念之间的关系的题目均应视为“雷区”须小心翼翼，才不会“触雷”.例如(A),在某点周边有导数，甚至左右导数相等也