导数的概念2可导与连续的关系

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1、2.1.2导数的概念--可导与连续的关系6/18/2021导数定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自变量x在点x0处有改变量Δx时函数有相应的改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).如果当Δx0时,Δy/Δx的极限存在,这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记作即:复习：1.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物理意义了解认识这一概念的实质，学会用事物在全过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。存在，则称f(x)在x0可导(或称f(x)在x0的导数存在).否则，称f(x)

2、在x0不可导(或称f(x)在x0的导数不存在).特别1）若若记x=x0+x,当x0时,xx0,特别，取x0=0,且若f(0)=0,有2）导数定义还有其他等价形式,3）由于称为f(x)在x0的右导数.称为f(x)在x0的左导数.定理：f(x)在x0可导f(x)在x0的左,右导数存在且相等.4）如果函数y＝f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导,就说函数y＝f(x)在开区间(a,b)内可导，这时，对于开区间内每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数，这样就在开区间(a,b)内可构成一个新的函数，称作f(x)的导函数。5）函数f(x)在点x0处的导数就是

3、导函数在x=x0处的函数值，即。这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。2.导数与导函数的区别与联系区别：是一常数。是一函数。联系：即函数在点处的导数就是导函数在处的值，注：通常，导函数也简称为导数．？3.由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择哪种形式,Δy也必须选择与之相对应的形式.4.求函数y=f(x)的导数可分如下三步:5.导数的几何意义1.几何意义切线方程为法线方程为1）函数f(x)在点x0处有导数，则在该点处函数f(x)的曲线必

4、有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数f(x)的曲线在点x0处有切线，而函数f(x)在该点处不一定可导。如函数在x=0处有切线，但不可导。2）求切线方程的步骤：（1）求出函数在点x0处的变化率，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即例:证明:(1)可导的偶函数的导函数为奇函数;(2)可导的奇函数的导函数为偶函数.证:(1)设偶函数f(x),则有f(-x)=f(x).(2)仿(1)可证命题成立,在此略去,供同学们在课后练习用.例7.问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解:令得对应则在点

5、(1,1),(–1,–1)处与直线平行的切线方程分别为即故在原点(0,0)有垂直切线二、新课：求导数举例例1求函数解：即例2求函数解即即如又如即更一般地，对于幂函数在上面的例子中，将换成得例3解即类似可得例4求函数f(x)=cosx的导数解例5解因此所以特殊地，当a＝e时，(sinx)=cosx(cosx)=-sinx(ax)=axlna特别地有(ex)=ex例6求对数函数y=logax的导数解以上得到的是部分基本初等函数的导数公式.解例11求曲线ycosx上点处的切线方程和法线方程式ysinx故在点处切线方程为法线方程为五、

6、函数的可导性与连续性的关系设函数y=f(x)在点x处可导，即存在。由具有极限的函数与无穷小的关系知道，这就是说，函数y=f(x)在点x处是连续的。如果函数y=f(x)在点x处可导，则函数在该点必连续。注意：一个函数在某点连续却不一定在该点处可导。所以，其中是当的无穷小。则当时，例7函数由以上的讨论可知：在内连续，但在处不可导。曲线在原点O没有切线.。必要条件，但不是充分条件。函数在某点连续是函数在该点可导的例8函数处不可导。这是因为在点x=0处有即导数为无穷大，在原点O具有在图形中表现为曲线垂直于x轴的切线显然，导数不存在。解例9讨论函数在x=0处不可导在x=0

7、处的连续性和可导性判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否存在且相等.作业P507-14