2014年上海市初三数学竞赛(原新知杯)试题&参考答案.pdf

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1、2014年上海市“新知杯”初中数学竞赛试卷一、填空题（共10小题，每小题10分，满分80分）3223aababb1、化简：_________。22a2abbxyyzzx2、已知：a，b，c，求(abcbcacab)()()______。yzzxxy3、已知：梯形ABCD，AB∥CD，AB=6，CD=16，CE⊥AD交AD于E，CE=BC=AD，求AE=______。4、方程xyzxyyzzxxyz2014的非负整数解有________组。5、在△ABC中，∠DAB=24°，∠ABD

2、=44°，CD=2AB，求∠C=_______。6、已知：x2,y2,xy1，由点(,)xy围成的图形面积为_______。2227、方程axax113a0(a0)有两个整数解，求a__________。n218、ddd1,2,3,...,dn为2014的所有正约数，求________。i1di2014二、解答题（第9、10题每题15分；第11、12题每题20分，共70分）x9、解方程：xxxx(a1)xx10、ABCADC300,ABCDADBC，求证：ABCDACBD

3、11、正方形ABCD的边长为a，里面有几个圆，每个圆的面积均小于1，任意一条与边平行的线至多与1个圆有交点，求证圆的总面积小于a。12、（1）求证：可将正整数分成3组，使对每一个n15(nZ)，每组都能找出两个不同的数，使其和等于n。（2）求证：将正整数任意分成4组，则存在一个n15(nZ)，必有一组中没有两个不同数的和等于n。2014年上海市“新知杯”初中数学竞赛试卷参考答案与试题解析一、填空题（共10小题，每小题10分，满分80分）abab,0,ab3223aababb1、化简：(ab)2。22

4、a2abb,ab0,abab分析：整式变形以及分类讨论32232aababb(abab)()解答：当ab0时，ab，ab222a2abb(ab)322322aababb(abab)()(ab)当ab0时，，ab222a2abb(ab)abxyyzzx2、已知：a，b，c，求(abcbcacab)()()8。yzzxxy分析：整式变形yzx解答：(abcbcacab)()()(2)(2)(2)8zxy3、已知：梯形ABCD

5、，AB∥CD，AB=6，CD=16，CE⊥AD交AD于E，CE=BC=AD，求AE=46。分析：平面几何问题，通过三角形相似求解解答：过A点作CD的垂线交CD于点F，设AF=xADAF易知△ADF∽△CDE，有，又∵AD=CECDCE22222∴AD(x5)16xCDAFx16x250解得x839（两种情况分别为E在梯形内部和外部）2222从而ADCEAFDF5(839)12816392228(16239)8[(13)2133(3)]8(133)22(133)上面的方

6、法为配方法，通过拆分来匹配中间项从而构成完全平方式的形式222DECDCE16(1281639)128163922(133)AEADDE46，正值说明E在梯形内，负值代表E在梯形外不管怎样AE的长均为46。此题偏难，对计算的要求比较高。4、方程xyzxyyzzxxyz2014的非负整数解有27组。分析：整式变形解答：(x1)(y1)(z1)xyzxyyzzxxyz1201551331x，y，z为非负整数，所以有以下几种可能：（1,1,2015）、（1,5,403）

7、、（1,13,155）、（1,31,65）、（5,13,31），共有34627组解。5、在△ABC中，∠DAB=24°，∠ABD=44°，CD=2AB，求∠C=22。分析：考察添加辅助线的技巧解答：由条件可知∠ADE=68°作AE，使得AE=AB，从而∠AED=44°，∠EAD=68°△AED为等腰三角形，AE=ED又∵CD=2AB，ED=AB∴CE=ED=AE∴△EAC也为等腰三角形故∠C=22°6、已知：x2,y2,xy1，由点(,)xy围成的图形面积为12。分析：根据条件在直角坐标系下作出图象，然后进行计算解答

8、：满足条件的(,)xy围成的图形为易知其面积为12222117、方程axax113a0(a0)有两个整数解，求a1,,。34分析：看到类似对解的性质有描述的题，可以考虑利用韦达定理求解解答：设方程的两个根为xx,且xx1