资源描述：
《2010年上海市新知杯初中数学竞赛试题及详解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2010年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷（2010年12月12日上午9:00~11:00）题号一（1~10）二总分11121314得分评卷复核解答本试卷可以使用计算器一、填空题（第1~5小题，每题8分，第6~10小题，每题10分，共90分）1.已知，则_________。2.满足方程的所有实数对为__________。3.已知直角三角形ABC中，，CD为的角平分线，则_________。4.若前2011个正整数的乘积能被整除，则正整数的最大值为________。5.如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC的顶点B，C的坐标分
2、别为（1，0），（3，0），过坐标原点O的一条直线分别与边AB，AC交于点M，N，若OM=MN，则点M的坐标为_________。6.如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=8，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，使得AE=2，BF=5，DG=3，AH=3，点O在线段HF上，使得四边形AEOH的面积为9，则四边形OFCG的面积是_________。7.整数满足，且关于的一元二次方程的两个根均为正整数，则________。88.已知实数满足且。设是方程的两个实数根，则平面直线坐标系内两点之间的距离的最大值为____
3、___。9.如图，设ABCDE是正五边形，五角星ACEBD（阴影部分）的面积为1，设AC与BE的交点为P，BD与CE的交点为Q，则四边形APQD的面积等于_______。10.设是整数，，且能被9整除，则的最小值是_________，最大值是__________。二、解答题（每题15分，共60分）11.已知面积为4的的边长分别为，AD是的角平分线，点是点C关于直线AD的对称点，若与相似，求的周长的最小值。12.将1，2，…，9这9个数字分别填入图1中的9个小方格中，使得7个三位数和都能被11整除，求三位数的最大值13.设实数
4、满足，且，求的最大值和最小值14.称具有形式的数为“好数”，其中都是整数（1）证明：100，2010都是“好数”。（2）证明：存在正整数，使得是“好数”，而不是“好数”。82010年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷（2010年12月12日上午9:00~11:00）题号一（1~10）二总分11121314得分评卷复核解答本试卷可以使用计算器一、填空题（第1~5小题，每题8分，第6~10小题，每题10分，共90分）1.已知，则15250解：即--47*3-18=123故152502.满足方程的所有实数对为（-2，-1）解：由题意
5、知，8故可得3已知直角三角形ABC中，，CD为的角平分线，则CD=解：令CD=x由面积正弦定理可知故x=4若前2011个正整数的乘积能被整除，则正整数的最大值为30解：故max=305如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC的顶点B，C的坐标分别为（1，0），（3，0），过坐标原点O的一条直线分别与边AB，AC交于点M，N，若OM=MN，则点M的坐标为解;6如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=8，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，使得AE=2，BF=5，DG=3，AH=3，点O在线段HF上，使得四边形AEOH
6、的面积为9，则四边形OFCG的面积是6.5解：8连接AO,OD,BO,OC面积比如图2所示且已知7整数满足，且关于的一元二次方程的两个根均为正整数，则-2278解：令p=67a,q=67b,可知a+b=30由根与系数的关系可知，设故p=67a=-22788.已知实数满足且。设是方程的两个实数根，则平面直线坐标系内两点之间的距离的最大值为解：89.如图，设ABCDE是正五边形，五角星ACEBD（阴影部分）的面积为1，设AC与BE的交点为P，BD与CE的交点为Q，则四边形APQD的面积等于1/2解:连结RQ，四边形APQR为平行
7、四边形，易知1=6S1+2S2故10设是整数，，且能被9整除，则的最小值是8，最大值是23解：易知a+b+c被9除余2或5或8所以（a+b+c）min=1+2+5=8（a+b+c）max=9+8+6=23二、解答题（每题15分，共60分）11ΔBDC’相似于ΔBCA情况（1）若DC’∕∕AC令∠DAC=α,则∠BAC=∠BC’D=2α易知AC’=C’D=CD=AC=b显然DC’=AC矛盾（DC’应小于AC）情况（2）∠BC’D=∠C又∠DC’A=∠C故∠BC’D=∠C=900在面积为4的直角三角形中，显然，等腰直角三角形周长
8、最小证法如下：又即当且仅当成立所以12这是一道技巧题显然8又即e=3所以b+h,d+f,a+I只能取14或3，因为14=5+9=8+6所以a,e,i,b,h,d,f必须使用数字1,2,9,5,8,6,3，c，g只能取7,4故的最大值取734，不考虑旋转，图2是唯一合理填法13将代入，若有解
