新知杯初中数学竞赛模拟试题(含详解)

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1、新知杯模拟试题一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10题每题10分，共90分）1.对于任意实数，定义=，已知，则实数的值是_________。2.在三角形ABC中，是大于1的整数，则。3.一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是。4.已知关于的方程有实根，并且所有实根的乘积为-2，则所有实根的平方和为。5.如图，直角三角形中，，为斜边上一动点。,，则线段长的最小值为。6.设是方程的两个根，是方程的两个根，则的值为。7.在平面直角坐标系中有两点，,函数的图像与线段延长线相交（交点不包括

2、），则实数的取值范围是。8.方程的所有整数解有组。9.如图，四边形中,,。设延长线交于，则_________________.81.如图，在直角梯形中，,,点在上，使得是正三角形，则与的面积和是________________。二、（本题15分）如图，中，,点在上，使得并且求的长。三、（本题15分）求所有满足下列条件的四位数：，其中数字可以是0。8四、（本题15分）正整数满足以下条件：任意个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的。五、（本题15分）若两个实数使得都是有理数，称数对是

3、和谐的。①试找出一对无理数，使得是和谐的；②证明：若是和谐的，且是不等于1的有理数，则都是有理数；③证明：若是和谐的，且是有理数，则都是有理数。8新知杯模拟试题（参考答案）一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10题每题10分，共90分）1.对于任意实数，定义=，已知，则实数的值是_________。【答案】4或【解析】，，，，所以或2.在三角形ABC中，是大于1的整数，则。【答案】0【解析1】若，即矛盾若，则，即矛盾，【解析2】是大于1的整数，所以，此时，，即，，即，，即3.一个平行四边形可以被分成92个边

4、长为1的正三角形，它的周长可能是。【答案】50，94【解析】设两边长分别为和，则，，所以周长为或4.已知关于的方程有实根，并且所有实根的乘积为-2，则所有实根的平方和为。【答案】5【解析】原方程可化为，，，，即5.如图，直角三角形中，，为斜边上一动点。,，则线段长的最小值为。8【答案】【解析】设，，则，所以，，，当，时，最小。1.设是方程的两个根，是方程的两个根，则的值为。【答案】2772【解析】，，，，2.在平面直角坐标系中有两点，,函数的图像与线段延长线相交（交点不包括），则实数的取值范围是。【答案】【解析

5、】，3.方程的所有整数解有组。【答案】72【解析】正整数解6+3+3+6=18组，非正整数解18×3=54组，共72组81.如图，四边形中,,。设延长线交于，则_________________.【答案】21【解析】作∥，∥，易知，四边形为平行四边形，，，是等边三角形，即为等腰三角形，,2.如图，在直角梯形中，,,点在上，使得是正三角形，则与的面积和是________________。【答案】【解析】将图补成正方形，易知≌，令，则，由勾股定理得，解得，二、（本题15分）如图，中，,点在上，使得并且求的长。【答案

6、】。【解析】设，则作的平分线交于点，8BE，则∽,所以，由角平分线定理可知，因此解得。三、（本题15分）求所有满足下列条件的四位数：，其中数字可以是0。【答案】【解析】设，，则由题意得，即，因为为整数，，，，且在100内11的倍数只有9个，经验证，时，，时，，解得，，，因此，四、（本题15分）正整数满足以下条件：任意个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的。【解析】由于这14个合数都小于2009且两两互质，因此。而n=15时，我们取15个不超过2009的互质合数的最小素因子则必有一

7、个素数不失一般性，设由于是合数的最小素因子，因此矛盾。所以，任意15个大于1且不超过2009的互质整数中至少有一个素数。综上所述，n最小是15。五、（本题15分）若两个实数使得都是有理数，称数对是和谐的。①试找出一对无理数，使得是和谐的；②证明：若是和谐的，且是不等于1的有理数，则都是有理数；8①证明：若是和谐的，且是有理数，则都是有理数。【解析】①不难验证是和谐的。②由已知是有理数，是有理数，所以，解得是有理数，所以也是有理数。若，则是有理数，因此也是有理数。若，由已知是有理数，也是有理数，因此，故是有理数，

8、因此也是有理数。8