2019高考数学二轮复习第8讲数列求和课件理.pptx

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1、第8讲　数列求和总纲目录考点一  考点一　利用Sn、an的关系式求an考点二数列求和考点三数列中的不等式问题考点一　利用Sn、an的关系式求an在数列{an}中,an与Sn的关系:an=1.已知数列{an}的前n项和Sn=2n-1,则++…+=(　　)A.(2n-1)2B.(2n-1)C.4n-1　    D.(4n-1)答案Dan=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1(n≥2),n=1时,a1=S1=1,满足上式,∴++…+=1+22+24+…+22n-2==(4n-1).故选D.2.

2、设数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3an-1,则Sn=.答案(3n-1)解析由2Sn=3an-1,①得2Sn-1=3an-1-1(n≥2),②由①-②,得2an=3an-3an-1.∴=3(n≥2).又2S1=3a1-1,2S2=3a2-1,∴a1=1,a2=3,=3.∴{an}是首项为1,公比为3的等比数列.∴Sn==(3n-1).3.已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=n+1(n∈N*),则数列{an}的通项公式是.答案an=解析当n=1时,a1=2;当n≥2时,a1+2a2+

3、3a3+…+nan=n+1,所以a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=n,两式相减,得nan=(n+1)-n=1,∴an=.∴an=方法归纳给出Sn与an的递推关系求an的一般思路一是利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为an的递推关系,再求其通项公式;二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an.考点二　数列求和数列求和最常用的四种方法(1)公式法:适合求等差数列或等比数列的前n项和,对于等比数列,利用公式法求和时,一定要注意q是否取1.(2)错位相减法:这是推导等比数列的前n项

4、和公式时所用的方法,主要用于求数列{an·bn}的前n项和,其中{an},{bn}分别是等差数列和等比数列.(3)裂项相消法:把数列和式中的各项分别裂开后,消去一部分从而计算和的方法,适用于求数列的前n项和.若{an}为等差数列,d为公差,则=.(4)分组求和法:一个数列既不是等差数列,也不是等比数列,若将这个数列适当拆开,重新组合,就会变成几个可以求和的部分(即能分别求和),然后再合并.命题角度一　分组法求和例1设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=8,S4=40.数列{bn}的前n项和为Tn,且T

5、n-2bn+3=0,n∈N*.(1)求数列{an},{bn}的通项公式.(2)设cn=求数列{cn}的前n项和Pn.解析(1)设等差数列{an}的公差为d.由题意,得解得所以an=4n.因为Tn-2bn+3=0,①所以当n=1时,b1=3;当n≥2时,Tn-1-2bn-1+3=0,②由①-②,得bn=2bn-1(n≥2).所以数列{bn}为等比数列.所以bn=3×2n-1.(2)cn=当n为偶数时,Pn=(a1+a3+…+an-1)+(b2+b4+…+bn)=+=2n+1+n2-2.当n为奇数时,解法一:n

6、-1为偶数,Pn=Pn-1+cn=2(n-1)+1+(n-1)2-2+4n=2n+n2+2n-1.解法二:Pn=(a1+a3+…+an-2+an)+(b2+b4+…+bn-1)=+=2n+n2+2n-1.所以Pn=方法归纳在处理一般数列求和时,一般要注意使用转化思想,把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和,在求和时,要分析清楚哪些项构成等差数列,哪些项构成等比数列,清晰正确地求解,在利用分组求和法求和时,有时数列的各项是正负交替的,所以一般需要对项数n进行讨论,最后验证是否可以合并为一个公式.例2

7、(2018陕西质量检测一)已知在递增的等差数列{an}中,a1=2,a3是a1和a9的等比中项.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=,Sn为数列{bn}的前n项和,求S100的值.命题角度二　裂项相消法求和解析(1)设公差为d(d>0),则an=a1+(n-1)d.∵a3是a1和a9的等比中项,∴=a1a9,即(2+2d)2=2(2+8d),解得d=0(舍去)或d=2.∴an=2+2(n-1)=2n.(2)由(1),得bn===.∴S100=b1+b2+…+b100=×=×=.方法归纳1.裂项相消

8、法求和就是将数列中的每一项分成两项或多项,使这些分开的项出现有规律的相互抵消,要注意消去了哪些项,保留了哪些项.2.消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.例3(2017天津,18,13分)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{an}和{bn}的通项公式;