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1、第7章轴的扭转圆轴的弹性扭转非圆截面杆件的弹性扭转弹性扭转与薄膜比拟7-1圆轴的弹性扭转圆轴的弹塑性扭转全塑性扭转与沙堆比拟弹塑性扭转与薄膜—屋顶比拟7-1圆轴的弹性扭转7-1圆轴的弹性扭转Tr材料力学解答在机械的传动机构中，，，轴轴轴是一个传递扭矩的重要圆轴扭转的材料力学结论：：：τ=I是否满足弹性p部件。。。轴的扭转问题属于仅在端面上受外力作用。轴的扭转问题属于仅在端面上受外力作用力学方程？？？的柱体平衡问题。。。刚性平面转动假设扭转的平面假设；；；纵向纤维无挤压；纵向纤维无挤压TyTxσx=σy=τzx=−τsinβ=−τ
2、zy=τcosβ=扭转变形IpIpσz=τxy=0xTTzoτzyτ机器主轴oβxyrτyxzx左端面的外法线方向与z轴方向相反y7-1圆轴的弹性扭转7-1圆轴的弹性扭转TyTxTyTxτzx=−,τzy=σx=σy=σz=τxy=0τzx=−,τzy=σx=σy=σz=τxy=0IIIIpppp∂τzx∂τzy∂τxz∂τyz实际上，，，在杆件的两端只知道端部载荷的，在杆件的两端只知道端部载荷的合力与与与合合合平衡方程：：：=,0=,0+=0满足∂z∂z∂x∂y力矩，，，不能给出端面上的载荷分布规律，不能给出端面上的载荷分布规
3、律。。。（（（不计体力（不计体力）））按照圣维南原理，，，放松端面上的边界条件，放松端面上的边界条件，，，使受扭，使受扭力的边界条件：：：圆轴侧面法向力为零圆轴在端面上满足合力为零与与与合力矩为扭矩T。。。nτ=,0nτ=,0lτ+mτ=0满足zxzyxzyzFdA=−τdA=,0FdA=−τdA=0∫Ax∫Azx∫Ay∫Azyl=cos(v,x)=x,m=cos(v,y)=y满足RR∫A(yFxdA−xFydA)=−∫A(yτzx−xτzy)dA=Ton=cos(v,z)=0Ryx协调条件：：：1(+µ)∇2τ=,01(+µ)
4、∇2τ=0满足圆轴端面l=m=,0n=−1公式成立yzzxx时才满足222v2∂∂∂y−τzx=Fx,−τzy=Fy,Fz=0边界条件∇=2+2+2材料力学的解就是弹性力学的解。。。∂x∂y∂z17-1圆轴的弹性扭转7-1圆轴的弹性扭转TyTxf(x,y)=c+cx+cy+cxyτzx=−,τzy=σ=σ=σ=τ=030123xyzxyIIppf(y,z)=a+ay+az+ayz,f(z,x)=b+bz+bx+bzx1012320123TTγyz=x,γzx=−y,εx=εy=εz=γxy=0胡克定律∂f∂f∂f∂fT∂f∂fT
5、GIGI2+1=,03+2=x,1+3=−ypp∂x∂y∂y∂zGI∂z∂xGIpp∂u∂v∂w∂v∂u=,0=,0=,0+=0∂x∂y∂z∂x∂y几何方程位移分量：：：TT∂w∂vT∂u∂wTu=f(y,z)=a−by−cz−yz=u−ωy+ωz−yz+=x,+=−y10210zyGIGI∂y∂zGI∂z∂xGIp=0=0=0pppTTu=f1(y,z),v=f2(z,x),w=f3(x,y)v=f2(z,x)=b0−c2z+b2x+zx=v0−ωxz+ωzx+zxGIp=0=0=0GIp∂f∂f∂f∂fT∂f∂fT2+1=,
6、03+2=x,1+3=−yw=f(y,z)=c+cx+cy=w−ωx+ωy30120yx∂x∂y∂y∂zGI∂z∂xGIpp=0=0=022∂f∂f3=,03=0f(x,y)=c+cx+cy+cxy限制圆轴的刚体运动2230123(平动+转动)，，，设坐标原点，设坐标原点固定，，，∂y∂x7-1圆轴的弹性扭转坐标原点固定的条件下，，，受扭圆轴的位移分量，受扭圆轴的位移分量：：：Tu=−yz=−θyz杆件单位长度上两个GIp截面的相对扭转角：：：7-2非圆截面杆件的弹性扭转Tv=zx=θzxTGIθ=pGIpw=0基本方程由由由w
7、=0可知，，，圆轴受扭后其横截面仍为平面，圆轴受扭后其横截面仍为平面；；；应力函数解法刚性平面转动的假设是正确的。。。7-2非圆截面杆件的弹性扭转7-2非圆截面杆件的弹性扭转翘曲现象—自由扭转在圆轴的弹性扭转中，，，截面上的最大剪应力产生在，截面上的最大剪应力产生在外边缘处；；；且在扭转过程中截面无；且在扭转过程中截面无翘曲。。。对于非圆截面杆件，，，这两个结论均不适用。。。此时杆件截面将发生翘曲，，，即扭转中横截面不再保，即扭转中横截面不再保持为平面。。。27-2非圆截面杆件的弹性扭转7-2非圆截面杆件的弹性扭转基本方程应力
8、分量：：：刚性转动的假设仍然成立σ=σ=σ=τ=,0τ=Gθ(∂ψ−y),τ=Gθ(∂ψ+x)xyzxyzxzy∂x∂y柱体扭转横截面发生翘曲，，，但在，但在xoy平面上的投影保持不变，，，即横截面作为一个整体绕着z轴转动。。。平衡方程：：：(不计体力)前两式自
