3、.5.数列的通项公式如果数列{an}的第n项与之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.列表法图象法解析法正整数集N*解析式序号na1+a2+…+an6.数列的递推公式如果已知数列{an}的首项(或前几项),且任何一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即an=f(an-1)或an=f(an-1,an-2),那么这个式子叫做数列{an}的递推公式.7.an与Sn的关系(1)Sn=.(2)若数列{an}的前n项和为Sn,则an=对点自测B2.(教材改编题)若数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2-1,则a1+a3等于()
4、(A)10(B)11(C)17(D)18B解析:a1=S1=2-1=1,a3=S3-S2=2×32-2×22=10,所以a1+a3=11.故选B.D解析:因为{an}是递增数列,所以对任意的n∈N*,都有an+1>an,即(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn,整理,得2n+1+λ>0,即λ>-(2n+1).(*)因为n≥1,所以-(2n+1)≤-3,要使不等式(*)恒成立,只需λ>-3.答案:(-3,+∞)4.已知an=n2+λn,且对于任意的n∈N*,数列{an}是递增数列,则实数λ的取值范围是.解析:因为a1=1,所以a2=(a1-1)2=0,a3=(a2-1)2=1,a4
5、=(a3-1)2=0,…,可知数列{an}是以2为周期的数列,所以a2018=a2=0.答案:0考点专项突破在讲练中理解知识考点一 由数列的前几项归纳通项公式解:(1)偶数项为正,奇数项为负,故通项公式必含有因式(-1)n,观察各项的绝对值,后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故数列的一个通项公式为an=(-1)n(6n-5).根据所给数列的前几项求其通项时,需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征:(1)分式中分子、分母的各自特征;(2)相邻项的联系特征;(3)拆项后的各部分特征;(4)符号特征.应多进行对比、分析,从整体到局部多角度观察、归纳、联想.反思归纳解析:(1)注意到
6、分子0,2,4,6都是偶数,对照选项排除即可.故选C.答案:(1)C考点二 利用an与Sn的关系求通项【例2】(1)若数列{an}的前n项和Sn=n2-10n,则此数列的通项公式为an=;解析:(1)当n=1时,a1=S1=1-10=-9;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-10n-[(n-1)2-10(n-1)]=2n-11.当n=1时,2×1-11=-9=a1,所以an=2n-11.答案:(1)2n-11答案:(2)(-2)n-1反思归纳【跟踪训练2】(1)(2017·河南八校一联)在数列{an}中,Sn是其前n项和,且Sn=2an+1,则数列的通项公式an=;解析:(1
7、)依题意得Sn+1=2an+1+1,Sn=2an+1,两式相减得Sn+1-Sn=2an+1-2an,即an+1=2an,又S1=2a1+1=a1,因此a1=-1,所以数列{an}是以a1=-1为首项、2为公比的等比数列,an=-2n-1.答案:(1)-2n-1(2)若数列{an}的前n项和Sn=2n+1,则此数列的通项公式为an=.考点三 根据递推公式求通项【例3】在数列{an}中,(1)若a1=2,an+1=an+n+1,则通项公式an=;(3)an+1=2an+3且a1=1,
