数字控制理论及应用(讲稿)第五章 采样控制系统的数学模.pdf

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1、第五章采样控制系统的数学模型第一节线性常系数差分方程及其求解线性连续系统，其输入与输出之间用线性常微分方程描述。与线性连续系统类似，线性离散系统的输入与输出之间用线性差分方程来描述。差分方程中离散函数及其差分都是一次的，则称为线性差分方程。线性差分方程中的系数均为常数，则称为线性常系数差分方程。差分方程有前向差分和后向差分两种表示法。与线性常微分方程习惯表示法一样，将输出写在方程等式的左边，输入写在方程等式的右边。后向差分方程常见形式表示为c(kT)+ac(kT−T)+ac(kT−2T)+L+ac(kT−nT)12n（5.1.1）=br(kT)+br(kT−T)+br(kT−2T)+

2、L+br(kT−mT)012m前向差分方程常见形式表示为ac(kT+nT)+ac(kT+nT−T)+L+ac(kT+T)+c(kT)nn1（5.1.2）=br(kT+mT)+br(kT+mT−T)+L+br(kT+T)+br(kT)mm10后向差分方程也可表示为mnc(kT)=∑bjr(kT−jT)−∑aic(kT−iT)（5.1.3）j=0i=1式（5.1.3）也叫做差分方程的迭代关系式。差分方程的求解可分为迭代法和z变换法两种常用方法。1．迭代法已知输入序列和输出序列的初始值，就可以利用式（5.1.3）的迭代关系，逐步计算出所需要的输出序列。例5.1.1已知差分方程c(kT)+c

3、(kT−T)=r(kT)+2r(kT−T)⎧kTk≥0输入序列为r(kT)=⎨，采样周期T=1⎩0k<0初始条件为c)0(=0，试用迭代法求解差分方程。解由已知差分方程可得迭代关系式c(kT)=r(kT)+2r(kT−T)−c(kT−T)逐步以k=,3,2,1L,代入迭代关系式有c)0(=0c(T)=r(T)+2r)0(−c)0(=1+2×0−0=1c2(T)=r2(T)+2r(T)−c(T)=2+2×1−1=3c3(T)=r3(T)+2r2(T)−c2(T)=3+2×2−3=4c4(T)=r4(T)+2r3(T)−c3(T)=4+2×3−4=6M继续求解下去，可得到输出序列c(kT

4、)各点的值。显然，迭代法的优点是便于用计算机求解。2．z变换法在连续系统中用拉氏变换求解微分方程，使得复杂的运算变成简单的代数运算。同样在离散系统中用z变换求解差分方程，可大大简化和方便求解运算。将滞后定理式（4.2.2）中连续函数写成数值序列x(kT)后有−mZ[x(kT−mT)]=zX(z)。（5.1.4）22利用式（5.1.4），z变换求解差分方程大致可分为如下两步：（1）对后向差分方程式（5.1.1）两边作z变换有−1−n−1−mC(z)+azC(z)+⋅⋅⋅+azC(z)=bR(z)+bzR(z)+⋅⋅⋅+bzR(z)1n01m−1−2−mb+bz+bz+⋅⋅⋅+bz012

5、m可得C(z)=R(z)（5.1.5）−1−2−n1+az+az+⋅⋅⋅+az12n（2）对式（5.1.5）求z反变换后可以得到差分方程的解c(kT)。另外，对前向差分方程求解，在作z变换时，应用式（4.2.3）超前定理，将初始条件代入求出C(z)的表达式后再求z反变换。例5.1.2试用z变换求解例5.1.1差分方程的解。zT解对输入序列求z变换有R(z)=，采样周期T=1。2(z−)1对差分方程式两边作z变换−1−1C(z)+zC(z)=R(z)+2zR(z)−121+2zz+2zC(z)=R(z)=，用综合除法可得−1321+zz−z−z+1−1−2−3−4C(z)=z+3z+4

6、z+6z+L得c(T)=1，c2(T)=3，c3(T)=4，c4(T)=6第二节脉冲传递函数的基本概念线性连续系统理论中，在初始条件为零的情况下，系统输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比定义为传递函数。与此类似，在线性采样系统理论中，初始条件为零的情况下系统离散输出信号的z变换与离散输入信号的z变换之比定义为脉冲传递函数。它是线性采样系统理论中的一个重要概念。*开环离散系统如图5.2.1所示，输入信号r(t)采样后得到断续脉冲信号r(t)。在自动控制原理中已分析过一阶系统的单位脉冲响应曲线，即脉冲信号经过G(s)环节后，其输出是一个衰减（稳定系统条件下）的连续信号c(t)。为了

7、分析脉冲传递函数的概念，需要输出信号为离散的采样信号，为此在系统输出端虚设一个理想采样开关，如图中虚线所示，它与输入采样开关同步工作，并具有相同的采样周期。必须指出，虚设的采样开关是不存在的，*只是输出连续信号c(t)在采样时刻时的离散值c(t)。G(z)C*(s)c*(t)C(z)R*(s)r(t)r*(t)TG(s)R(s)TR(z)C(s)c(t)图5.2.1开环离散系统当输入信号为一个单位脉冲δ(t)时，其输出信号为单位脉冲响应，其响应以g(t)表