数字控制理论及应用(讲稿)第三章 连续信号的采样与复现.pdf

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1、第三章连续信号的采样与复现第一节采样过程一、信号的采样过程采样器可以用一个按一定周期闭合的开关来表示，其采样周期为T，每次闭合时间为τ。通常采样持续时间τ远小于采样周期T，在分析采样控制系统时可以近似地认为τ→0。∞x(t)∑δ(t−kT)k=−∞……Ot…-3T-2T-1TO1T2T3T…tKx*(t)x(t)x*(t)∞采样开关∑δ(t−kT)k=−∞x(t)x*(t)5T调制器O1T2T3T4Tt采样器a)b)图3.1.1信号的采样过程采样过程可以看成是一个脉冲调制过程。理想的采样器等效于一个理想的单位脉冲序列发生器。它能

2、够产生单位脉冲序列δ(t−kT)，δ(t−kT)表示为t=kT时的单位脉冲函数。如图3.1.1所示，采样器为一脉冲调制器，连续信号函数x(t)为调制信号，单位脉冲序∞列∑δ(t−kT)相当于载波，上述采样过程则把连续的函数变成一串调幅脉冲，它是按时k=−∞间周期为T进行采样的。*脉冲调制器（采样器）的输出信号x(t)的形式如图3.1.1(a)所示，即t=kT处脉冲强度就等于这一采样时刻输入函数x(t)的值，称作采样数值序列x(kT)。因此，A/D单元相当于采样开关，其离散数学表达式为∞∞x(*t)=x(t)∑δ(t−kT)=∑x

3、(kT)δ(t−kT)（3.1.1）k=0k=0采样信号的拉氏变换为∞∞−kTsX(*s)=L[x(*t)]=∑x(kT)L[δ(t−kT)]=∑x(kT)e（3.1.2）k=0k=0备注：拉氏变换延迟性质：记L[f(t)]=F(s)若f(t)当t<0时f(t)=0,则当t<τ时，f(t-τ)=010-sτ则:L[f(t-τ)]=eF(S)二、采样信号的频谱及采样定理由于采样信号的信息并不等于连续信号的全部过程，所以采样信号的频谱与连续信号的频谱是不一样的。研究采样信号频谱的目的是要找出连续信号频率特性X(jω)与采样信*号频率

4、特性X(jω)的相互联系。因为单位脉冲序列δ(t−kT)为周期性函数，可以展开为如下傅里叶级数形式∞∞∑δ(t−kT)=∑Cejkωst（3.1.3）kk=−∞k=−∞式中，ω=2π/T为采样角频率，T为采样周期，C是傅氏系数，其值为sk1T2/−jkωtC=δ(t)esdtk∫−T2/Te−jkωst=由于在[−T,2/T]2/区间中，δ(t)在t≠0时均为零，且1，所以t=01T2/−jkωt10+1C=δ(t)esdt=δ(t)dt=（3.1.4）k∫−T2/∫0TT−T将式（3.1.4）代入式（3.1.3）得∞∞1jkω

5、t∑δ(t−kT)=∑es（3.1.5）k=−∞Tk=−∞若t≤,0x(t)=0，再把式（3.1.5）代入式（3.1.1）有∞∞1jkωtx(*t)=x(t)∑δ(t−kT)=∑x(t)es（3.1.6）k=0Tk=−∞式（3.1.6）表明了采样前后信号之间的关系。对其取拉氏变换后得∞1X(*s)=∑X(s−jkωs)（3.1.7）Tk=−∞备注：拉氏变换位移性质：at记L[f(t)]=F(s)，则L[ef(t)]=F(s-a)令s=jω得到频率特性为∞1X(*jω)=∑X(jω−jkωs)（3.1.8）Tk=−∞把式（3.1.

6、8）展开则为111X(*jω)=X(jω−jkω)+X(jω−jkω)+X(jω−jkω)+LsssTTTk=0k=1k=−1111=X(jω)+X(jω−jω)+X(jω+jω)+L（3.1.9）ssTTT由式（3.1.9）可知，一个频谱有限的连续信号X(jω)经采样后会得到频谱无限的采样*信号X(jω)。11X(jω)ω-ωmax0ωmax2ωmaxa)*k=-2k=-1X(jω)k=1k=2k=0ω-2ωs-ωs-ωmax0ωmaxωs2ωsb)k=-2k=-1*k=1k=2X(jω)k=0ω-2ωs-ωs-ωmax0ωm

7、axωs2ωsc)*k=1k=-2k=-1X(jω)k=2k=0ω-2ωs-ωmax0ωmaxωs2ωsd)图3.1.2连续信号及其采样后的频谱图一般来说，连续信号的频谱X(jω)是单一的连续频谱，如图3.1.2a）所示，其中ωmax*为连续信号最大角频率；而采样信号的频谱X(jω)，由式（3.1.9）可知，则是以采样角频率ω为周期的无穷多个频谱之和，如图3.1.2b）、c）、d）所示。在图3.1.2b）、c）、d）中，sk=0的频谱称为采样频谱的主分量，它与连续频谱X(jω)的形状一致，仅在幅值上变化了/1T倍；其余频谱(k=

8、±1，±2，L)都是由于采样而引起的高频频谱，称为采样频谱的补分量。如果采样频率ω=2ω，各采样频谱刚好连接，如图3.1.2b）所示；如果采样频smax率ω>2ω，各采样频谱分开，如图3.1.2c）所示；而当ω<2ω时，各采样频谱发smaxsmax生重叠，至使采