信号的采样和复现

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1、8－2信号的采样和复现的数学描述一、采样过程所谓理想采样，就是把一个连续信号e(t)，按一定的时间间隔逐点地取其瞬时值，从而得**到一串脉冲序列信号e(t)。可见在采样瞬时，e(t)的脉冲强度等于相应瞬时e(t)的幅值，即e(0T),e(1T),e(2T),…e(nT)，…如图8－8所示。因此，理想采样过程可以看成是一个幅值调制过程，如图8－9所示。采样器好比是一个幅值调制器，理想脉冲序列d(t)作为幅值调制器的载波信号，d(t)TT的数学表达式为¥dT(t)=åd(t-nT)(8－1)n=-¥其中n=0,±1,±2,…*e(t)调幅后得到的信号，即采样信号e(t)为¥*e(t)=e(t)d

2、T(t)=e(t)åd(t-nT)(8－2)n=-¥通常在控制系统中，假设当t<0时，信号e(t)=0，因此*e(t)=e(0)d(t)+e(T)d(t-T)+e(2T)d(t-2T)+L+e(nT)d(t-nT)+L(8－3)¥*或e(t)=åe(nT)d(t-nT)(8－4)n=0式(8－4)为一无穷项和式，每一项中的d(t-nT)表示脉冲出现的时刻；而e(nT)代表这一时刻的脉冲强度。式(8－2)或(8－4)表示了采样前的连续信号与采样后的离散信号之间的关系。然而，一个值得提出的问题是：采样后的断续信号能否全面而真实地代表原来的连续信号呢?或者说它是否包含了原连续信号的全部信息呢?因为

3、从采样(离散化)过程来看，“采样”是有可能会损失信息的。下面我们将从频率域着手研究这个问题。二、采样信号的频谱**假设连续信号e(t)的富氏变换式为E(jw)，采样后信号et()的富氏变换式用E(jw)表示，下面我*们来看E(jw)的具体表达式。由于理想脉冲序列d(t)是一个周期函数，其周期为T，因此它可以展开成指数形式的富氏级数，即T¥1jnwstdT(t)=åe（8－5）Tn=-¥其中w=2pT为采样角频率。s将式(8－5)的结果代入(8－2)式得¥*1jnwste(t)=e(t)dT(t)=åe(t)e（8－6）Tn=-¥根据复位移定理；若Fet[()]=Ej(w)，则±atFete[

4、()]=Ej(wma)因此，式(8－6)的富氏变换式为¥**1F[e(t)]=E(jw)=åE(jw-jnws)(8－7)Tn=-¥*假定连续信号e(t)的频谱如图8－10(a)所示，则根据式(8－7)可得采样(离散)信号e(t)的频谱如图8－10(b)所示。由图8－10，可得到如下结论：1(1)n=0的项为E(jw)，通常称为基本频谱。它正比于原连续信号e(t)的频谱。T1(2)同时派生出以w为周期的，无限多个高频频谱分量E(jw-jnw)，其中n=±1，ssT±2,…。h以上表明了连续信号与它所对应的离散信号在频谱上的差别。从富氏变换及其反变换的有关定理可知，在一定条件下，原函数e(t)

5、与其富氏变换式E(jw)是一一对应的，亦即由富氏变换式E(jw)可以唯一地还原成原函数e(t)。可以设想，如果让采样信号通过一个图8－11所示的理想滤波器，将所有派生出来的高频分量全部滤掉，而同时保留其基本频谱信号。那么经过这样处理后的信号，只要将其幅值放大T倍，就能完全重现原信号。*由图8－10不难看出，要想完全滤掉高频分量，筛选出基本频谱，从而根据采样信号e(t)来复现采样前的连续信号e(t)，采样频率w必须大于或等于连续信号e(t)频谱中最高频率w的两倍，即smaxw³2w(8－8)smax这就是有名的香农(Shannon)采样定理。这一定理告诉我们，只要采样频率足够高，我们完全不必担

6、心采样过程会损失任何信息。由图8－10也可看出，若采样频率不够高，即w<2w时，则将会出现如图8－12所示的频谱重smax叠现象。很明显，这时，我们就无法再把基本频谱和派生高频频谱分开；从而，也就无法重现原信号，或者说，采样过程将损失信息。另外，需要指出的是，如图8－11所示的理想滤波器，实际上是不存在的。因此在工程上，通常采用性能与理想滤波器相近似的低通滤波器，其中最常用的低通滤波器就是零阶保持器。三、零阶保持器的数学模型零阶保持器的输入、输出关系如图8－13所示。因此，零阶保持器的作用是在信号传递过程中，把第nT时刻的采样信号值一直保持到第(n+1)T时刻的前一瞬时，把第(n+1)T时刻

7、的采样值一直保持到*(n+2)T时刻，依次类推，从而把一个脉冲序列e(t)变成一个连续的阶梯信号e(t)。因为在每一个采h样区间内e(t)的值均为常值，亦即其一阶导数为零，故称为零阶保持器，可用“ZOH”来表示。h如果把阶梯信号e(t)的中点连起来，则可以得到与e(t)形状一致而时间上迟后半个采样周期(T2)hT的响应曲线e(t-)，如图8－13中的虚线所示。由此也可初步估计到零阶保持器对于系统动态性能的影2