化归方法在高等数学中的应用.pdf

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1、化归方法在高等数学中的运用河北省唐县第一中学于会茹摘要�本文分析了化归方法的思维结构�并结合高等数学的相关内容�探讨了化归方法在高等数学中的运用.对恒等变形化归方法�变量代换化归方法�参数变易化归方法�构造模式化归方法给以举例说明.关键词:化归方法所谓“化归”就是转化和归结�“化归方法“就是通过变换�促使转化�将复杂问题转化为较为简单的问题�将困难的问题转化为较为容易的问题�将未知的问题转化为已知的问题.著名的数学家路莎-彼得在《无穷的玩艺》中指出�“数学家们往往不是对问题进行正面的攻击�而是不断地将它变形�直到把它转变为能够得到解决的问题.“化归方法的一般模式是�转换待解决问题A------

2、-------------------�容易解决的问题B��还原问题A的解答问题B的解答�--------------------------化归方法不仅是中学数学问题解决的方法�而且在高等数学中存在着广泛应用.由于化归途径多种多样�因此应当采用且必须采取具体问题具体分析的方法来解决.一恒等变形化归方法有些题目�相当繁杂�进行恒等变形后�则能化归为较为简单的问题.2sinxcos2x例1已知y�,求y'.sin3x�sinx22sinxcos2xsinxcos2xsinx解�y===sin3x�sinx2cos2xsinx2cosx所以y'=2恒等变形化归方法�在积分中有相当广泛的应用�在不定

3、积分的直接积分法中�实际上就是通过恒等变形�将不易求的积分化归成易求的积分.1例2求dx�3sinxcosx解�由恒等变形�该积分可以转化为较为简单的两个积分�即221sinx�cosxsinxdx=dx=dx+�3�3�3sinxcosxsinxcosxcosx1cotxdx�2cosx111=+�dtanx=+lntanx+C2cosxtanx2cosx转化是解题的重要环节�对此题表面上看是变得更复杂了�而实际上对于积分是变得简单了�也就是说对所给对象适当改造加工往往会使解答简捷�达到事半功倍的效果.二变量代换化归方法变量代换化归方法�几乎在微积分学的所有问题中都有广泛的应用.极限计算中的

4、等价无穷小代换�积分学中的第一类换元积分和第二类换元积分法都是变量代换化归法.22x�2x�2�xdy例3已知y�arctan�ln,求.xx2�2�xdx2x�2解�令u�则x1u�1y�arctanu�ln2u�11�arctanu��lnu�1�lnu�1�2dydydudu�2因为�且�dxdudxdxx2x2�222�2�dy11�11�2uxx�2�������242dx1�u2�u�1u�1�u�12�x�1�222dydydux�x�2��2x�2所以��=�dxdudx2�x2�1�22x2�1xx�2对于较复杂的不好直接应用求导公式和求导法的函数�在求导时�利用变量代换�将

5、问题转化为可以直接求导的问题�正是求导中最常用的转化方法�有时还需进行多次变量替换�多次化归才能解决问题.12�arcsint�t例4求lim��t�0�t�解�令x�arcsint,t�sinx1122�arcsint�t�x�sinxlim1xI=lim��=lim��=ex��0lnt�0�t�x�0�sinx�sinx2sinx因为x�0时�22xx1sinx�x,ln��故sinxsinxx�11xsinxlimln�limx�0sinx2sinxx�0x2x�sinx1�cosxsinx1�lim�lim�lim�x�0x3x�03x2x�06x61所以I=e6解法中引入新的变量x

6、�将幂指函数转化为以e为底的指数函数�实现了将生疏问题化归成比较熟悉的问题�以便充分利用我们已有的知识和经验.类似的�利用变量代换法可以证明诸如下面定积分的等式或不等式成立.����2f�sinx�dx�2f�cosx�dx2xf�sinx�dx��f�sinx�dx�0�0�02�0��1mn1nmsinxcosxx�1�x�dx�x�1�x�dx2dx�2dx�0�0�01�x2�01�x222�sinxdx�00答案留给读者作为练习�自己给出.三参数变易化归方法高等数学中的不少问题�乍一看�感到十分棘手�无从下手.仔细一想�悟出技巧�柳暗花明.引进适当的参数�可使问题的表现形式或解的结构

7、�处于某种可变的状态之中�从而使问题迎刃而解.解一阶线性微分方程的“常数变易法“�求多元函数条件极值问题的“拉格朗日乘数法”等�实际上就是这类化归方法的典型.下面的几个例子�将使读者充分体会这种方法的奇特作用和效果.例5求三元函数u=222y�1z�2x�y�z在方程x�1��约束23下的最小值.解�引入参数t�将对称式直线方程转化为参数式直线方程�x�1�t�即��y��1�2t于是��z�2�