2020版高考数学第三章导数及其应用第2节导数在研究函数中的应用（第3课时）导数在不等式中的应用课件北师大版.pptx

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1、第3课时　导数在不等式中的应用考点一　构造函数证明不等式所以当02时，f′(x)>0，即f(x)在(0，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，又由(1)知x－lnx≥1(当且仅当x＝1时取等号)，②且①②等号不同时取得，规律方法1.证明不等式的基本方法：(1)利用单调性：若f(x)在[a，b]上是增函数，则①任意x∈[a，b]，有f(a)≤f(x)≤f(b)，②任意x1，x2∈[a，b]，且x1

2、个范围D内有最大值M(或最小值m)，则任意x∈D，有f(x)≤M(或f(x)≥m).2.证明f(x)

3、h(1)＝0，所以g(x)≥f(x)在[1，＋∞)上恒成立.考点二　利用“若f(x)min>g(x)max，则f(x)>g(x)”证明不等式【例2】已知函数f(x)＝xlnx－ax.(1)解函数f(x)＝xlnx－ax的定义域为(0，＋∞).当a＝－1时，f(x)＝xlnx＋x，f′(x)＝lnx＋2.当且仅当x＝1时取到，从而可知对一切x∈(0，＋∞)，都有f(x)>G(x)，规律方法1.在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可考虑转化为两个函数的最值问题.2.在证明过程中，等价转化是关键，此处f(x)

4、min>g(x)max恒成立.从而f(x)>g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”.(1)求f(x)的极值；(2)求证：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有f(x1)≤g(x2).(1)解依题意得f(x)＝－x3＋3x－1，f′(x)＝－3x2＋3＝－3(x＋1)(x－1)，知f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是减函数，在(－1，1)上是增函数，所以f(x)极小值＝f(－1)＝－3，f(x)极大值＝f(1)＝1.(2)证明易得x>0时，f(x)最大值＝1，注意到h′(1)＝0，当x

5、>1时，h′(x)>0；当00，故φ(x)在区间(0，x0)上单调递增，且φ(0)＝0，从而φ(x)在区间(0，x0)上大于零，这与sinx－ax<0恒成立相矛盾.

6、得sinx－ax>0恒成立，这与sinx－ax<0恒成立相矛盾.故实数a的最小值为1.规律方法1.破解此类题需“一形一分类”，“一形”是指会结合函数的图像，对函数进行求导，然后判断其极值，从而得到含有参数的方程组，解方程组，即可求出参数的值；“一分类”是指对不等式恒成立问题，常需对参数进行分类讨论，求出参数的取值范围.2.利用导数研究含参数的不等式问题，若能够分离参数，则常将问题转化为形如a≥f(x)(或a≤f(x))的形式，通过求函数y＝f(x)的最值求得参数范围.令f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0，1)时，f

7、′(x)>0，f(x)是增函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)是减函数；所以x＝1为函数f(x)的极大值点，且是唯一极值点，所以h(x)≥h(1)＝1，所以g′(x)>0，所以g(x)是增函数，所以g(x)≥g(1)＝2，故k≤2，即实数k的取值范围是(－∞，2].角度2不等式能成立求参数的取值范围【例3－2】已知函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋alnx(a∈R).(1)若f(x)在区间[1，2]上是单调函数，求实数a的取值范围；(2)函数g(x)＝(1－a)x，若存在x0∈[1，e]使得f(x0

8、)≥g(x0)成立，求实数a的取值范围.(2)由题意知，不等式f(x)≥g(x)在区间[1，e]上有解，即x2－2x＋a(lnx－x)≥0在区间[1，e]上有解.因为当x∈[1，e]时，lnx≤1≤x(不同时取等号)，x－lnx>0，因为x∈[1，e]，所以x＋2>2≥2lnx，所以h′(x)≥0，h(x)在[1，e]上单调递增，规律方法1.含