高考数学导数及其应用第11节导数在研究函数中的应用（第3课时）利用导数求解不等式问题课件.pptx

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1、第三课时　利用导数求解不等式问题专题概述利用导数证明不等式或利用不等式恒(能)成立求参数问题是高考命题的热点,往往以解答题一问的形式呈现,占6～8分.一般是构造函数或分离参数,把不等式问题转化成函数的最值问题求解,涉及的主要数学思想是转化与化归思想、分类讨论思想与方程思想.考点专项突破在讲练中理解知识考点一　构造函数证明不等式【例1】(2018·郑州质检)已知函数f(x)=x-1+aex.(1)讨论f(x)的单调性;反思归纳(1)证明不等式的基本方法:①利用单调性:若f(x)在[a,b]上是增函数,则(ⅰ)∀x

2、∈[a,b],有f(a)≤f(x)≤f(b),(ⅱ)∀x1,x2∈[a,b],且x1

3、反思归纳(1)在证明不等式中,若无法转化为一个函数的最值问题,则可考虑转化为两个函数的最值问题.(2)在证明过程中,等价转化是关键,此处f(x)min>g(x)max恒成立,两个函数取到最值的条件不一定是同一个x的取值.【跟踪训练2】已知f(x)=ax-lnx,x∈(0,e],g(x)=,其中e是自然对数的底数,a∈R.(1)讨论a=1时,函数f(x)的单调性和极值;考点三　不等式恒成立求参数(范围)(多维探究)考查角度1:分离参数法求参数(范围)【例3】已知函数f(x)=ex+ax2-e2x.(1)若曲线y=

4、f(x)在点(2,f(2))处的切线平行于x轴,求函数f(x)的单调区间;解:(1)由f′(x)=ex+2ax-e2得y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率k=4a=0,则a=0.此时f(x)=ex-e2x,f′(x)=ex-e2,由f′(x)=0,得x=2.当x∈(-∞,2)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.所以函数f(x)的单调递增区间是(2,+∞),单调递减区间是(-∞,2).(2)若x>0时,总有f(x)>-e2x,求实数a的取值范围.反

5、思归纳(1)利用导数研究含参数的不等式问题,若能够分离参数,则常将问题转化为形如a≥f(x)(或a≤f(x))的形式,通过求函数y=f(x)的最值求得参数范围.(2)恒成立问题的求解方法:a≥f(x)在x∈D上恒成立,则a≥f(x)max(x∈D);a≤f(x)在x∈D上恒成立,则a≤f(x)min.【跟踪训练3】(2017·江苏南京模拟)设f(x)=ax-4x3,对∀x∈[-1,1]总有f(x)≤1,则a的取值范围是.答案:{3}反思归纳不等式“恒成立”问题一定要正确理解其实质,深挖内含条件,进行等价转化.反

6、思归纳(1)含参数的能成立(存在型)问题的解题方法a≥f(x)在x∈D上能成立,则a≥f(x)min;a≤f(x)在x∈D上能成立,则a≤f(x)max.(2)含全称、存在量词不等式能成立问题①存在x1∈A,任意x2∈B使f(x1)≥g(x2)成立,则f(x1)max≥g(x2)max;②任意x1∈A,存在x2∈B,使f(x1)≥g(x2)成立,则f(x1)min≥g(x2)min.