三重积分求解方法的深入探究

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1、第25卷第7期荆楚理工学院学报2010年7月Vo1．25NO．7JournalofJingchuUniversityofTechnologyJIl1．20l0三重积分求解方法的深入探究周俊(长江大学信息与数学学院，湖北荆州434023)[摘要]文章分析三重积分的求解方法，重点研究了柱面坐标变换和球面坐标变换以及利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性求解三重积分。通过探究得出：定理的相互结合和方法的灵活选择是求解三重积分的关键所在。[关键词]三重积分；柱面坐标变换；球面坐标变换；对称性【中图分类号]0172．2[文献标识码]A[文章编号]10

2、08-4657(2010)07—0038一o4求解三重积分是一个难点，既要有较强的几何直观能力，能够画出空间区域的草图，以便将积分的空间区域表示成适当的形式，从而确定积分限，又要灵活地选择计算方法和计算公式，使得计算简便。1三重积分化为累次积分的求解方法1．1化为二重积分里套定积分(简称“先一后二”)若积分区域可写成：1"2={(，)，，z)l(，Y)∈D(，Y)≤=≤z(，Y)}，则fJ，Y，z)d=白f二Jdxdyg2(x,Y)／f[，Y，z)dz1．2化为定积分里套二重积分(简称“先二后一”)若积分区域可写成：／2={(，Y，)J(，

3、)，)∈Dz，a≤≤6}，则『I，，，，z)dV=fdzI，Y，z)dxdy例I计算积分，=¨fPd，其中p是点(，Y，)到轴的距离，即P=)，2+Z2，为一棱台，其六个顶点为A(0，0，1)，B(O，1，1)，C(1，1，1)，D(0，0，2)，E(0，2，2)，F(2，2，2)。分析一(“先一后二”)：积分区域在yoz平面的投影区域JD为梯形，对任意给定的点(，，o，)∈D，A(z，Y。，Zo)随增大时，当=0时刚好进入，当=Y。时刚好从中出来，故有：={(，Y，)I(Y，z)∈D，0≤≤Y}，即可得解。分析--(“先二后一”)：将向轴

4、投影，得到的区间是[1，2]，z=z平面在上所截得的闭区域为D：0≤Y≤z，0≤≤Y，即可得解。2三重积分的换元求解方法某些三重积分经过适当的变量换元可以简化计算。换元总体原则是：积分区域易于定限，被积函数能得到简化或两者兼顾。下面重点介绍柱面坐标变换和球面坐标变换。2．1柱面坐标变换当满足如下条件时可以考虑进行柱面坐标变换：[收稿日期]2010—05—08[基金项目]湖北省教育厅重点项目(A类)(项目编号：D20101304)。[作者简介]周俊(1975一)，男，湖北天门人，长江大学讲师，硕士。研究方向：最优化理论。381)积分区域的边界

5、面中有柱面或圆锥面；2)被积函数为+z)，yf(+)，+y2)，)’yf(-")，~Y--)等类型。fxrco$．0≤r<+。。柱面坐标变换公式为卜：tY=rsinO．0≤0≤2丌，其中Jacobi行列式为：'，(r，0，)=【=z一．∞

6、。fHcos(。+by+cz)dxdydz，其中。，b,c是不全为0的常数，力：+y2≤n1。分析：此题似乎无从下手，但细心观察并分析积分区域和被积函数可以发现，积分区域是一个柱面。经过适当的坐标系旋转变换后仍然可以通过柱面坐标变换求解，它是一道柱面坐标变换应用的综合性题。2．2球面坐标变换当满足如下条件时可以考虑进行球面坐标变换：1)积分区域力的边界面中有球面或圆锥面；2)被积函数为+Y+)等类型。fx=rsinrkcosO．0≤r<+∞球面坐标变换公式为：{Y=rsindpsinO，0≤0≤27r，其中Jacobi行列式为：．，(r，咖

7、，)=r2sindp，故【z：rcosqb，0≤咖≤仃＼Yz)dxdydz=＼rsi咄0rsi吣0rcosrh)rzs4adrd+dO例4求由圆锥体z≥+co和球体+Y+(一口)≤口所确定的立体体积。其中∈(0，)，口>0为常数。分析：在球坐标变换下，球面方程+Y+(一口)=a可表示成r=2acos4o，锥面方程=／2x+)，2c0可表示为咖=卢。因此{(r，，)10≤r≤2acosdp，0≤≤／3，0≤0≤27r}，故的体积为=厂r：竽删卢，2．3广义的球坐标变换在实际的三重积分换元求解过程中，还可以根据被积函数或积分区域的特性对上述两种

8、变换进行fxarsin+cosO适当的变形。如广义的球坐标变换：令{Y=brsinrksinO，相应的Jacobi行列式为：J=abcr2sindp。【：crc。s击侈IJ5计算