2019版高中数学第三章导数及其应用3.3.1利用导数判断函数的单调性课件新人教B版.pptx

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1、3.3导数的应用3.3.1利用导数判断函数的单调性1.通过函数的图象直观地了解函数的单调性与导数的关系.2.会利用导数求函数的单调区间,判断函数的单调性.用函数的导数判断函数单调性的法则设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,1.如果在(a,b)内,f'(x)>0,则f(x)在此区间是增函数;2.如果在(a,b)内,f'(x)<0,则f(x)在此区间是减函数.名师点拨此法则只说明函数y=f(x)在某区间上f'(x)>0(或<0)是函数f(x)在该区间上为增(减)函数的充分条件,但并非必要条件.【做一做1】若函数y=f(x)的导函数f'(x)在(a,b)上恒大于

2、0,则函数y=f(x)在(a,b)上是函数.(填“增”或“减”)答案:增【做一做2】函数y=f(x)的导函数f‘(x)<0在(1,2)上恒成立,则区间(1,2)是函数y=f(x)的单调递区间.(填“增”或“减”)答案:减利用求导的方法求函数的单调区间、判断函数的单调性需注意哪些问题?剖析:(1)在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,在解决问题的过程中,只能在定义域内,通过讨论导数的符号,来判断函数的单调区间.(2)在对函数划分区间时,除了必须注意确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.题型一题型二题型三函数的图象与导数的

3、关系【例1】已知导函数f'(x)的下列信息:当10;当x>4或x<1时,f'(x)<0;当x=4或x=1时,f'(x)=0.试画出函数f(x)图象的大致形状.分析:题中给出的信息是函数y=f(x)在实数集上的部分,根据导函数的正负,画出曲线的一个上升或下降的趋势即可.题型一题型二题型三解:当10,可知f(x)在区间(1,4)内是增函数,曲线应呈“上升”趋势;当x>4或x<1时,f'(x)<0,可知f(x)在区间(-∞,1)和(4,+∞)内是减函数,曲线应呈“下降”趋势;当x=4或x=1时,f'(x)=0,这两点比较

4、特殊,我们称它们为“临界点”.综上,函数f(x)图象的大致形状如图所示.反思本题考查函数单调性与导数的关系.知道导数在区间上的符号(正、负),可知函数在此区间上的单调性,进而可画出其大致图象.题型一题型二题型三求函数的单调区间【例2】求下列函数的单调区间:(1)f(x)=x3-3x+3;分析:利用函数单调性的判定法则解题.解:(1)f'(x)=3x2-3=3(x2-1)=3(x+1)(x-1).令3(x+1)(x-1)>0,解得x>1或x<-1.因此,f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞).令3(x+1)(x-1)<0,解得-1

5、x)的单调递减区间为(-1,1题型一题型二题型三(2)f'(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).令(ex-1)(x+1)>0,解得x<-1或x>0.因此,f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(0,+∞).令(ex-1)(x+1)<0,解得-10和f'(x)<0;④确定f(x)的单调区间.题型一题型二题型三易错题型题型一题型二题型三题型一题型二题型三1函数f(x)的图象如图所示

6、,则f(x)的单调递增区间为()A.(a,x1)B.(x2,b)C.(a,x1)∪(x2,b)D.(a,x1)和(x2,b)答案:D2在区间(a,b)内,f'(x)<0是f(x)在(a,b)内是减函数的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A3函数f(x)=x3-3x2+9的单调递增区间为.答案:(-∞,0)和(2,+∞)4若函数f(x)=x3+ax2+4在区间(0,2)内单调递减,则实数a的取值范围为.解析:f'(x)=3x2+2ax.由题意得3x2+2ax≤0在(0,2)内恒成立,所以a<-3.当a=-3时,f(x

7、)=x3-3x2+4满足题意,综上a的取值范围为(-∞,-3].答案:(-∞,-3]5函数f(x)=xlnx的单调递减区间为.