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《求子空间交与和的基的一种方法.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、江汉大学学报aaa第卷第期ournloingnnivrsityolo2年月求子空间交与和的基的一种方法孙庆光武汉教育学院摘要本,文提出用矩阵的初等行变换同时求得子空间交与和的基的一种方法这种方法还同时给出了交与和的基与子空间生成向量组的直接联系.;;关键词子空间基初等变换nV设数域P上维线性空间的子空间la,,a:,,a,,W=L(…):,,,r.1:W=L(月月…夕)、、、B令矩阵CDA分别为a,,a:,,a,C=(…,,:,,D一(夕月…几I:n,,n,引理1设子空间W与W交的维数为那么一秩(B)一秩(A)证明因
2、为_CO{){CO}lZ维(W)+维(W)=秩11=秩}}=秩(B)LODJLDDJ_.C}{(l+WZ维W)~秩}}一秩(A)tDJ,根据维数公式有n,,:,Z,Z=维(W门W)一维(W)+维(W)一维(W+W)=秩(B)一秩(A),,2,.,,2,,,,,2,,,,。,,2专夕…从r孚孚二vir是刀甲…从中:甲叭…引理如果向量组的秩为个向量使:1996一04一02收稿日期,,孙庆光武汉教育学院数学系43001。孙庆光求子空间交与和的基的一种方法,,,2,,,,:,,从中其余的一个向量都可被它们线性表出那么孚认…叭
3、是甲夕…从的一个极大线性无关组.,,,二,.,,,二,,:1:,1::证明依题意可得孚孚…孚与向量组甲专…从等价故向量组孚孚…从的秩为即,,,,,.辛,2,:孚…乳是夕专…认的一个极大线性无关组,,,,定理设矩阵T一(AE)其中E为q=:+t阶单位矩阵如果秩(A)一r矩阵T经初等行变换等价于矩阵凡尸以!rQ,{lQZ0QZ,Z;IZa,,则一QCI或者QD的行向量组的极大线性无关组为WnW的基QC+QD一O所给出的二,1,,rra,,,a,,,,,,久夕…风中个能线性表示其余q一个向量的向量为…夕…尽的一个极大线性无
4、关组,即为Wl+W:的基.,,_[F、,一`”,(:证明秩A)一设A经初等行变换等价于阶梯形矩阵}lB经同样的初等行变换等价于(0/,”「。FG_,矩阵}r,。即存在q阶可逆矩阵Q使,一(UH一,QA一QB一G。,.。…:}{公H,一其中一=QQE…公忿.QB一G,。r.。曦级二二卜…含H,一得,Z,Z、一r.。QC+QD一OQD一H或者一QIC一QZD一Hq一二.”r,,。一,,,,,。于是H:。一的行向量可由W的向量线性表示也可以由W的向量线性表示故H的行向量为Wl自W:中的向量.又由{C秩(B)一秩}LDDj凡
5、oG,,一秩一,,。H。,一秩(、一,,F沪+秩(H,.。~秩(、一A)+秩(厅)2969661仁汉大学学报年第期,.一,,)H(所以秩一秩(B)一秩(A)lZ一维(W自W).,一,ZZ于是得H~的行向量组的极大线性无关组为wnw的基即一lQc或QD的行向量组的极大线无关组为W;门W:的基.,,.)~,,Z;,Zq一二由秩(Qq得秩(QQ)一q一用初等行变换将(QQ)化为阶梯形矩阵即存在阶可,逆矩阵尹使{C{I,Zp〔QQ〕}}=OLDJ.,,,,,,,,.,于alaZ久l2rqr2为阶梯形是得…月夕…尽中个向量线性
6、表示其余的一个向量根据引理,,,,,,,.ra;a:隽,,Z这个向量即为向量组…月…尽的一个极大线性无关组因而它是W+W的一组基,,.lZ,Z特殊地若维(w+w)=秩(八)=叮那么w门W=旧},.,以上子空间W,:我们看到+W基的证明也给出了一般向量组极大线性无关组的一种求法,例在厂中设、,,,,,,七`
7、1l攻a一(12一1一2)月一(25一6一5),,,.,,,,3)一(31l1){夕一(一12一7,,,=(一10l一l);,,,.a,aZa3,夕:生求由与夕成子空间的交与和的基7’一(A,E)解令1.、`卫胜,
8、.leseses八U一1322一l一21000111010…一100,100ù1一6一500一’000073,用初等行变换将A化成阶梯形矩阵于是矩阵T等价于、.,r`.ltl`.1ō土八f划户七n七门七.ù1一1一20Oon0一4一1一200Ol一20OO一1一2000:一31244342凡Q尸{(,Zt少QQ于是有孙庆光求子空问交与和的基的一种方法63月,。1QD=1O)}}一尽:t户),Z,,Z,.(W)~,,,Z即维自W1且W自W~L甲)月为子空间W门W的基F4;)=维(Wl+W:)=又由秩(4IC+QZD=一
9、a飞a:a:,及Q3++Z+月=O3al一a:一a3.2或者风=2+0月,,,:,,,,,,2,、,,。,2,Z,a,a:a3aa:a。月a,aZa+W得月为向量组夕的一个极大线性无关组故月为w的基其中,,,,.lalaZa3Z,2W一L()W=L(月月)参考文献..,191:王新民子空间及其交与和的基的统一求法数学通报92(。)21一2..孙
