子空间的交与和

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1、子空间的交与和子空间的交与和是Ｖ的子空间集合的运算。由于两个子空间的并一般未必仍是子空间，所以集合并的运算不是Ｖ的子空间集合的运算。因此引入子空间的和。我们切不可把子空间的和与集合的并混为一谈，例如在Ｒ2中，若Ｘ，Ｙ分别表示x轴和y轴上所有点的集合，那么Ｘ和Ｙ都是Ｒ2的子空间，且Ｘ＋Ｙ＝Ｒ2，显然≠Ｘ∪Ｙ。§6－6子空间的交与和Theorem5如果V1，V2是线性空间V的两个子空间，那么它们的交V1∩V2也是V的子空间。证明：由0∈V1，0∈V2，知0∈V1∩V2，因而V1∩V2是非空集合，如果，∈V1

2、∩V2，即，∈V1、且，∩V2，那么＋∈V1，＋∈V2，因此＋∈V1∩V2。V1∩V2是V的子集。子空间的交满足运算规律：多个子空间的交：Definition8：设V1，V2是线性空间V的子空间所谓V1与V2和定义为Theorem6：如果V1，V2是线性空间V的两个子空间，那么它们的和V1＋V2也是V的子空间。证明：由于0∈V1，0∈V2，0＝0＋0∈V1＋V2，因而V1＋V2是非空集合，如果＝1＋2，＝1＋2∈V1＋V2，因1＋1∈V1、2＋2∈V2，有＋＝(

3、1＋1)＋(2＋2)∈V1＋V2k=k(1＋2)=k1＋k2∈V1＋V2因此V1+V2是V的子集.有限个子空间的和因为任意一个ｎ阶矩阵都可表为ｎ阶对称矩阵与ｎ阶反对称阵的和,所以有Ｍn(Ｆ)＝Ｓ＋Ｔ,其中Ｓ,Ｔ分别为全体ｎ阶对称和全体ｎ阶反对称矩阵的集合,它们都是子空间.前面所说Ｘ＋Ｙ＝Ｒ2也是一个子空间和的具体例子,我们应当善于利用这些具体例子去理解一般子空间的和的概念关于子空间的交与和有以下结论:Ex1.在二位几何空间中,若V1,V2分别是x轴与y轴,则V1∩V2={0},V1+V2=R

4、2.Ex2.在三位几何空间中,若V1表示过原点的直线,V2是过原点且与V1垂直的平面,则V1∩V2={0},V1+V2=R3.Ex3线性空间Pn中,若V1是As×nx=0的解空间,V2是Br×nx=0的解空间,则V1∩V2是的解空间.线性空间V中,有Theorem(维数定理)证明维数定理推论:如果n维线性空间V的两个子空间的维数大于n,则两个子空间必含有非零的公共元素.思考题设V1,V2是线性空间V的两个子空间R(V1)=s,R(V2)=r,则子集合V1+V2V1∩V2V1∪V2是否是子空间?当它们是子空间

5、时其维数?作业：P275-12、13、14、15